题目内容
如图，某汽车的底盘所在直线恰好经过两轮胎的圆心，两轮的半径均为60cm，两轮胎的圆心距为260cm（即PQ=260cm），前轮圆心P到汽车底盘最前端点M的距离为80cm，现汽车要驶过一个高为80cm的台阶（即OA=80cm），若直接行驶会“碰伤”汽车．（1）为保证汽车前轮安全通过，小明准备建造一个斜坡AB （如图所示），那么小明建造的斜坡的坡角α最大为多少度？（精确到0.1度）
（2）在（1）的条件下，汽车能否安全通过此改造后的台阶（即汽车底盘不被台阶刮到）？并说明理由．
【答案】分析：（1）为了保证汽车安全通过的最大坡角，应满足当轮胎与地面BC、斜坡BA均相切，且汽车底盘前端点M恰在斜坡AB上，在Rt△PHM中，易知PH=60 cm，PM=80 cm，∠PMH=α，根据sin α的值求得α的值即可；
（2）分别求得ON和OC的长，然后比较大小即可确定能否通过．
解答：
解：（1）如图1，为了保证汽车安全通过的最大坡角，应满足当轮胎与地面BC、斜坡BA均相切，且汽车底盘前端点M恰在斜坡AB上，
在Rt△PHM中，易知PH=60 cm，PM=80 cm，∠PMH=α，
所以sin α=
=
=
，
所以α≈48.5°（此处应采用去尾法进行近似） （3分）
（2）∵
＜260
∴当前轮安全通过台阶时，后轮仍在平地上
在Rt△AOB中，AB=AO÷sin α=
×80=
，
∴OB=
=
；
∴BN=BH=BM-MH=80-20
∴ON=80+
如图2，假设底盘与点A相碰，
∵△QAF∽△QPE
∴
，∴QA=65，
∴OC=FQ=
=
．
∵
＜80+
∴此车可以安全通过． （8分）
点评：本题考查了坡度坡角问题，解决此类问题的关键是从复杂的实际问题中整理出直角三角形并求解．
（2）分别求得ON和OC的长，然后比较大小即可确定能否通过．
解答：
解：（1）如图1，为了保证汽车安全通过的最大坡角，应满足当轮胎与地面BC、斜坡BA均相切，且汽车底盘前端点M恰在斜坡AB上，在Rt△PHM中，易知PH=60 cm，PM=80 cm，∠PMH=α，
所以sin α=
=
=
，所以α≈48.5°（此处应采用去尾法进行近似） （3分）
（2）∵
＜260∴当前轮安全通过台阶时，后轮仍在平地上
在Rt△AOB中，AB=AO÷sin α=
×80=
，∴OB=
=
；∴BN=BH=BM-MH=80-20
∴ON=80+
如图2，假设底盘与点A相碰，
∵△QAF∽△QPE
∴
，∴QA=65，∴OC=FQ=
=
．∵
＜80+
∴此车可以安全通过． （8分）
点评：本题考查了坡度坡角问题，解决此类问题的关键是从复杂的实际问题中整理出直角三角形并求解．
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