Question

2．如图所示，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，E是BC边上的中点，连结PE，求证：PE与⊙O相切．

Answer 1

分析 连接OP，OE，由已知得到OE为△ABC的中位线，再证明△OBE≌△OPE，根据全等三角形对应角相等的性质以及切线的性质定理得出∠OBE=∠OPE=90°，然后利用切线的判定定理即可证明PE与⊙O相切．

解答 证明：如图，连接OP，OE．
∵OA=0B，BE=EC，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE∥AC，
∴∠A=∠BOE，∠APO=∠POE，
∵OA=OP，
∴∠A=∠APO，
∴∠BOE=∠POE．
在△OBE与△OPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OP}\\{∠BOE=∠POE}\\{OE=OE}\end{array}\right.$，
∴△OBE≌△OPE，
∴∠OBE=∠OPE=90°，
∴PE与⊙O相切．

点评 本题考查的是切线的判定与性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质．通常要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点时，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．