Question

【题目】综合与实践：

问题情境：已知是正方形的对角线，将直角三角尺放在正方形上.

（1）如图1，使三角尺的直角顶点与点重合，三角尺的一条直角边交直线于点，另一条直角边交直线于点.求证：.

操作发现：

（2）如图2，将三角尺的直角项点放在上，三角尺的一条直角边交直线于点，另一条直角边交直线于点.判断和的数量关系，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）；详见解析

【解析】

（1）根据同角的余角相等，证明∠DAE=∠BAF，再根据ASA证明ΔAFB≌ΔAED，根据全等三角形对应边相等即可得出结论；

（2）过点P作PM⊥BC于点M，作PN⊥DC于点N，由正方形的性质得到∠PMC=∠PNC=∠MCN=90°，∠ACB=∠ACD，再由角平分线的性质和四边形内角和为360°得到∠MPN=90°，PM=PN，然后根据同角的余角相等，证明∠MPF=∠NPE，再根据ASA证明ΔPFMΔPEN，根据全等三角形对应边相等即可得出结论．

（1）证明：∵四边形为正方形，

∴，，

∴．

又∵，

∴，

∴．

在和中，

∵

∴()

∴；

（2）.理由如下：

过点作于点，作于点，

∵四边形为正方形，

∴，．

∵，，∠ABC=∠ACD，

∴．

∵∠PMC+∠MCN+∠PNC+∠MPN=360°，

∴，

∴．

∵，

∴．

在和中，

∵，

∴()，

∴．