Question

已知：如图，在梯形中，∥，点、在边上，∥， ∥，且四边形是平行四边形．
（1）试判断线段与的长度之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）现有三个论断：①；②∠+∠=90°；③∠=2∠．请从上述三个论断中选择一个论断作为条件，证明四边形是菱形．

Answer 1

见解析

（1）线段与的长度之间的数量为：．                            （1分）
证明：∵// ，//，
∴四边形是平行四边形．
∴．                                                       （2分）
同理可证，四边形是平行四边形．即得 ．             （1分）
又∵ 四边形是平行四边形，∴ ．                   （1分）
∴ ．
∴ ．                                                   （1分）
（2）选择论断②作为条件．                                                     （1分）
证明：∵∥，
∴．                                                   （1分）
∵，
∴ ．
即得．                                                  （2分）
又∵，
∴ ．                                                      （1分）
∵ 四边形是平行四边形，
∴ 四边形是菱形．                                            （1分）
（1）由题中所给平行线，不难得出四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，而四边形AEFD也是平行四边形，三个平行四边形都共有一条边AD，所以可得出BC=3AD的结论．
（2）可选择②作为证明条件，先证明DE=EF，然后结合四边形AEFD是平行四边形得出结论．