Question

如图，已知边长为2的正三角形ABC沿着直线l滚动．
（1）当△ABC滚动一周到△A₁B₁C₁的位置，此时A点运动的路程为

 

；约为

 

；（精确到0.1，π=3.14…）
（2）设△ABC滚动240°时，C点的位置为C′，△ABC滚动480°时，A点的位置为A′．请你利用三角函数中正切的两角和公式tan（α+β）=（tanα+tanβ）÷（1-tanα•tanβ），求出∠CAC′+∠CAA′的度数．

Answer 1

分析：（1）由图形可以看出，△ABC滚动的轨迹正好为两个半径为2的三分之一的圆周长；
（2）先求出正三角形的高，再利用三角函数求出tan∠CAC’与tan∠CAA′的值，然后通过等量代换求出∠CAC′+∠CAA′的度数．

解答：解：（1）当△ABC滚动一周到△A₁B₁C₁的位置，此时A点运动的路径为两个半径为2的三分之一的圆周长，
即A点的路程长为：2×

1

3

×2×3.14×2=8.37758；
约为8.4．

（2）设△ABC滚动240°时，C点的位置为C’，△ABC滚动480°时，A点的位置为A′．
∵正△ABC的边长为2
∴正△ABC的高为

3

tan∠CAC′=

3

2+2+1

=

3

5

tan∠CAA′=

3

4×2+1

=

3

9

所以：由公式tan（α+β）=（tanα+tanβ）÷（1-tanα•tanβ），
得：tan（∠CAC′+∠CAA′）
=（tan∠CAC′+tan∠CAA′）÷（1-tan∠CAC′•tan∠CAA′）
=（

3

5

+

3

9

）÷（1-

3

5

×

3

9

）
=

3

3

．
所以：∠CAC′+∠CAA′=30°．

点评：正确判断△ABC滚动的轨迹，利用转化思想和等量代换思想是解答此题的关键．