题目内容
（2004•辽宁）已知：射线OF交圆O于点B，半径OA⊥OB，P是射线OF上的一个动点，（不与O，B重合），直线AP交圆O于D，过D作圆O的切线交射线OF于E，（1）图a是点P在圆内移动时符合已知条件的图形，请你在图b中画出点P在圆外移动时符合已知条件的图形；
（2）观察图形，点P在移动过程中，△DPE的边，角或形状存在某些规律，请你通过观察，测量，比较，写出一条与△DPE的边，角或形状有关的规律；
（3）在点P移动的过程中，设∠DEP的度数为x，∠OAP的度数为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】分析：（1）按要求作图即可．
（2）图a中，连接OD，则∠OAD=∠ODA，由切线的性质易得∠ODA与∠AOP都是直角，因此∠PDE、∠DPE（即∠APO）是等角的余角，由此可证得∠PDE=∠EPD，所以DE=EP，△DEP是等腰三角形；
图b的证法同上，结论与图a相同．
（3）由（2）知：△DEP是等腰三角形，即可由三角形的内角和定理及顶角∠DEP的度数表示出∠DPE的度数，由于∠OAP、∠DPE互余，由此可求得y、x的函数关系式．
解答：
解：（1）图象如右图：
（2）∠EDP=∠DPE或ED=EP或△PDE是等腰三角形．
理由：图a中，连接OD；
则∠OAD=∠ODA；
又DE切⊙O于D，
∴∠ODE=∠POA=90°，
∴∠OPA=∠DPE=∠PDE，即DE=PE，△DPE是等腰三角形；
图b的证法与图a相同，结论一致．
（3）由题意得△PDE是等腰三角形，
∴∠EDP=∠DPE，
∴∠DPE=
；
在Rt△OAP中，y+
=90°，
∴y=
（0°＜x＜180°且x≠90°）．
点评：此题主要考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理的综合应用，难度适中．
（2）图a中，连接OD，则∠OAD=∠ODA，由切线的性质易得∠ODA与∠AOP都是直角，因此∠PDE、∠DPE（即∠APO）是等角的余角，由此可证得∠PDE=∠EPD，所以DE=EP，△DEP是等腰三角形；
图b的证法同上，结论与图a相同．
（3）由（2）知：△DEP是等腰三角形，即可由三角形的内角和定理及顶角∠DEP的度数表示出∠DPE的度数，由于∠OAP、∠DPE互余，由此可求得y、x的函数关系式．
解答：
解：（1）图象如右图：（2）∠EDP=∠DPE或ED=EP或△PDE是等腰三角形．
理由：图a中，连接OD；
则∠OAD=∠ODA；
又DE切⊙O于D，
∴∠ODE=∠POA=90°，
∴∠OPA=∠DPE=∠PDE，即DE=PE，△DPE是等腰三角形；
图b的证法与图a相同，结论一致．
（3）由题意得△PDE是等腰三角形，
∴∠EDP=∠DPE，
∴∠DPE=
；在Rt△OAP中，y+
=90°，∴y=
（0°＜x＜180°且x≠90°）．点评：此题主要考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理的综合应用，难度适中．
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