Question

【题目】（探究）如图①，∠AFH和∠CHF的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD交于点E、G．

(1)若∠AFH＝60°，∠CHF＝50°，则∠EOF＝_____度，∠FOH＝_____度．

(2)若∠AFH+∠CHF＝100°，求∠FOH的度数．

（拓展）如图②，∠AFH和∠CHI的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD交于点E、G．若∠AFH+∠CHF＝α，直接写出∠FOH的度数．(用含a的代数式表示)

Answer 1

【答案】【探究】（1）30，125；（2）∠FOH＝130°；【拓展】∠FOH＝90°﹣α．

【解析】

（1）先根据角平分线的定义求出∠OFH，∠FHO 的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠FOH的度数；

（2）先根据角平分线的定义求出∠OFH+∠FHO 的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠FOH的度数；

（拓展） 先根据角平分线的定义求出∠OFH＝∠AFH，∠OHI＝∠CHI＝（180°-∠CHF），再根据两直线平行内错角相等得∠FOH＝∠OHI﹣∠OFH即可。

（1）∵∠AFH＝60°，OF平分∠AFH，

∴∠OFH＝30°，

又∵EG∥FH，

∴∠EOF＝∠OFH＝30°（两直线平行内错角相等）；

∵∠CHF＝50°，OH平分∠CHF，

∴∠FHO＝25°，

∴△FOH中，∠FOH＝180°﹣∠OFH﹣∠OHF＝125°（三角形的内角和定理）；

故答案为：30，125；

（2）∵FO平分∠AFH，HO平分∠CHF，

∴∠OFH＝∠AFH，∠OHF＝∠CHF．

∵∠AFH+∠CHF＝100°，

∴∠OFH+∠OHF＝（∠AFH+∠CHF）＝×100°＝50°．

∵EG∥FH，

∴∠EOF＝∠OFH，∠GOH＝∠OHF（两直线平行内错角相等）.

∴∠EOF+∠GOH＝∠OFH+∠OHF＝50°．

∵∠EOF+∠GOH+∠FOH＝180°（三角形的内角和定理），

∴∠FOH＝180°﹣（∠EOF+∠GOH ）＝180°﹣50°＝130°．

拓展∵∠AFH和∠CHI的平分线交于点O，

∴∠OFH＝∠AFH，∠OHI＝∠CHI，

∴∠FOH＝∠OHI﹣∠OFH

＝（∠CHI﹣∠AFH）

＝（180°﹣∠CHF﹣∠AFH）

＝（180°﹣α）

＝90°﹣α．

【探究】

（1）∵∠AFH＝60°，OF平分∠AFH，

∴∠OFH＝30°，

又∵EG∥FH，

∴∠EOF＝∠OFH＝30°；

∵∠CHF＝50°，OH平分∠CHF，

∴∠FHO＝25°，

∴△FOH中，∠FOH＝180°﹣∠OFH﹣∠OHF＝125°；

故答案为：30，125；

（2）∵FO平分∠AFH，HO平分∠CHF，

∴∠OFH＝∠AFH，∠OHF＝∠CHF．

∵∠AFH+∠CHF＝100°，

∴∠OFH+∠OHF＝（∠AFH+∠CHF）＝×100°＝50°．

∵EG∥FH，

∴∠EOF＝∠OFH，∠GOH＝∠OHF．

∴∠EOF+∠GOH＝∠OFH+∠OHF＝50°．

∵∠EOF+∠GOH+∠FOH＝180°，

∴∠FOH＝180°﹣（∠EOF+∠GOH ）＝180°﹣50°＝130°．

拓展∵∠AFH和∠CHI的平分线交于点O，

∴∠OFH＝∠AFH，∠OHI＝∠CHI，

∴∠FOH＝∠OHI﹣∠OFH

＝（∠CHI﹣∠AFH）

＝（180°﹣∠CHF﹣∠AFH）

＝（180°﹣α）

＝90°﹣α．