Question

已知：在△ABC中，AB＝AC＝a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．

(1)求四边形AQMP的周长；

(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明)；

(3)M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵PM∥AB，QM∥AC，∴四边形AQMP为平行四边形，且∠1＝∠C，∠2＝∠B，又∵AB＝AC＝a，∴∠B＝∠C，∴∠1＝∠B＝∠C＝∠2，∴QB＝QM，PM＝PC，∴四边形AQMP的周长为AQ＋QM＋MP＋PA＝AQ＋QB＋PC＋PA＝AB＋AC＝2a; 　　(2)△ABC∽△QBM∽△PMC(三对中写出任意两对即可); 　　(3)当M为底边BC的中点时，四边形AQMP为菱形．当M为BC中点时，∵PM∥AB，QM∥AC，∴PM＝AB＝，QM＝AC＝，∴PM＝QM，由(1)知四边形AQMP为平行四边形，∴四边形AQMP为菱形．