题目内容
如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y=3x-4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线y=| k | x |
（1）求k的值；
（2）如图2，过O点作OD⊥AC于D点，求CD2-AD2的值；
（3）如图3，点P为x轴上一动点．在（1）中的双曲线上是否存在一点Q，使得△PAQ是以点A为直角顶点的等腰三角形．若存在，求出点P、点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
分析：（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点，AN⊥x轴于N点．由于△AOB是等腰直角三角形，得出AM=AN，即点A的横坐标与纵坐标相等．设点A的坐标为（a，a），又点A在直线y=3x-4上，列出关于a的方程，求出a的值，进而得到k的值；
（2）由（1）知点A的坐标为（2，2），根据勾股定理得出AO2=AM2+MO2=8．由点C为直线y=3x-4与y轴的交点，得出OC2=16．根据勾股定理及等式的性质得出CD2-AD2=OC2-OA2=8；
（3）如果过B作BQ⊥x轴交双曲线于Q点，连接AQ，过A点作AP⊥AQ交x轴于P点．由ASA易证△AOP≌△ABQ，得出AP=AQ，那么△APQ是所求的等腰直角三角形．根据全等三角形的性质及函数图象与点的坐标的关系得出结果．
（2）由（1）知点A的坐标为（2，2），根据勾股定理得出AO2=AM2+MO2=8．由点C为直线y=3x-4与y轴的交点，得出OC2=16．根据勾股定理及等式的性质得出CD2-AD2=OC2-OA2=8；
（3）如果过B作BQ⊥x轴交双曲线于Q点，连接AQ，过A点作AP⊥AQ交x轴于P点．由ASA易证△AOP≌△ABQ，得出AP=AQ，那么△APQ是所求的等腰直角三角形．根据全等三角形的性质及函数图象与点的坐标的关系得出结果．
解答：解：（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点，AN⊥x轴于N点，△AOB是等腰直角三角形，
∴AM=AN．
∴可设点A的坐标为（a，a），点A在直线y=3x-4上，
∴a=3a-4，
解得a=2，
则点A的坐标为（2，2）．
将点A（2，2）代入反比例函数的解析式为y=
，
求得k=4．
则反比例函数的解析式为y=
．
（2）点A的坐标为（2，2），在Rt△AMO中，AO2=AM2+MO2=4+4=8．
∵直线AC的解析式为y=3x-4，则点C的坐标为（0，-4），OC=4．
在Rt△COD中，OC2=OD2+CD2（1）；
在Rt△AOD中，AO2=AD2+OD2（2）；
（1）-（2），得CD2-AD2=OC2-OA2=16-8=8．
（3）双曲线上是存在一点Q（4，1），使得△PAQ是等腰直角三角形．过B作BQ⊥x轴交双曲线于Q点，连接AQ，过A点作AP⊥AQ交x轴于P点，则△APQ为所求作的等腰直角三角形．
在△AOP与△ABQ中，∠OAB-∠PAB=∠PAQ-∠PAB，
∴∠OAP=∠BAQ，
AO=BA，∠AOP=∠ABQ=45°，
∴△AOP≌△ABQ（ASA），
∴AP=AQ，
∴△APQ是所求的等腰直角三角形．
∵B（4，0），点Q在双曲线y=
上，
∴Q（4，1），则OP=BQ=1．
则点P、Q的坐标分别为（1，0）、（4，1）．
∴AM=AN．
∴可设点A的坐标为（a，a），点A在直线y=3x-4上，
∴a=3a-4，
解得a=2，
则点A的坐标为（2，2）．
将点A（2，2）代入反比例函数的解析式为y=
| k |
| x |
求得k=4．
则反比例函数的解析式为y=
| 4 |
| x |
（2）点A的坐标为（2，2），在Rt△AMO中，AO2=AM2+MO2=4+4=8．
∵直线AC的解析式为y=3x-4，则点C的坐标为（0，-4），OC=4．
在Rt△COD中，OC2=OD2+CD2（1）；
在Rt△AOD中，AO2=AD2+OD2（2）；
（1）-（2），得CD2-AD2=OC2-OA2=16-8=8．
（3）双曲线上是存在一点Q（4，1），使得△PAQ是等腰直角三角形．过B作BQ⊥x轴交双曲线于Q点，连接AQ，过A点作AP⊥AQ交x轴于P点，则△APQ为所求作的等腰直角三角形．
在△AOP与△ABQ中，∠OAB-∠PAB=∠PAQ-∠PAB，
∴∠OAP=∠BAQ，
AO=BA，∠AOP=∠ABQ=45°，
∴△AOP≌△ABQ（ASA），
∴AP=AQ，
∴△APQ是所求的等腰直角三角形．
∵B（4，0），点Q在双曲线y=
| 4 |
| x |
∴Q（4，1），则OP=BQ=1．
则点P、Q的坐标分别为（1，0）、（4，1）．
点评：本题考查反比例函数解析式的确定、等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定等知识及综合应用知识、解决问题的能力．
练习册系列答案
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23、在数学上，为了确定平面上点的位置，我们常用下面的方法：如图甲，在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点O的数轴，通常一条画成水平，叫x轴，另一条画成铅垂，叫y轴，这样，我们就说在平面上建立了一个平面直角坐标系，这是由法国数学家和哲学家笛卡尔创立的，这样我们就能确定平面上点的位置，例如，要确定点M的位置，只要作MP⊥x轴，MP⊥y轴，设垂足N，P在各自数轴上所表示的数分别为x，y，则x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，有序数对（x，y）叫做M点的坐标，如图甲，点M的坐标记作（2，3），（1）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图乙，请把△ABC向右平移3个单位，在平面直角坐标系中画出平移后的△A′B′C′；
在平面直角坐标系中，将一块腰长为
为旋转中心时，点
绕着点
旋转180°得到
点，点
再绕着点
点，这时点
与点
为旋转中心时，点
点，点
点，点
点,小明发现P、
两点关于点
中心对称.
、
、
为旋转中心时，点
绕着点
旋转180°得到
点；点
旋转180°得到
点；点
旋转180°得到
点；点
旋转180°得到点
. 继续如此操作若干次得到点
，则点
的坐为．
，有序数对（x，y）叫做M点的坐标，如图甲，点M的坐标记作（2，3），