Question

已知：关于x的方程(a2-1)(

x

x-1

)2-(2a+7)(

x

x-1

)+11=0有实根．
（1）求a取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为x₁，x₂，且

x1

x1-1

+

x2

x2-1

=

3

11

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）设

x

x-1

=y，分两种情况讨论，①方程为一元一次方程，②方程为二元一次方程，那么有（a²-1）y²-（2a+7）y+11=0，根据△≥0即可求解；
（2）设y₁=

x1

x1-1

，y₂=

x2

x2-1

，根据根与系数的关系即可求解．

解答：解：设

x

x-1

=y，
①当方程为一次方程时，
即a²-1=0 a=±1．
②当方程为二次方程时，a²-1≠0
则a≠±1，
原方程可化为：（a²-1）y²-（2a+7）y+11=0，
∴△=b²-4ac=（2a+7）²-4（a²-1）×11≥0，
∴40a²-28a-93≤0，
解得：

7- 979

20

≤a≤

7+ 979

20

；
（2）设y₁=

x1

x1-1

，y₂=

x2

x2-1

，
则y₁，y₂是方程（a²-1）y²-（2a+7）y+11=0的两个根，
∴y₁+y₂=

2a+7

a2-1

=

3

11

，
解得：a=-

8

3

或a=10．

点评：本题考查了根与系数的关系及根的判别式，属于基础题，关键是掌握根与系数之间的关系进行解题．