题目内容
【题目】已知：在以
为原点的平面直角坐标系中，抛物线的顶点为
点，且经过点
，
，
三点．
（1）求直线
和该抛物线相应的函数表达式；
（2）如图①，点
为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，过点作
轴的平行线与直线交于点
，求
的最大值．
（3）如图②，过点的直线交轴于点
，且
轴，点
是抛物线上，
之间的一个动点，直线
，
与
分别交于
，
，当点运动时，
是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
；
；（2）
；（3）是，
的定值为18．
【解析】
（1）直接利用待定系数法即可求出直线OB的解析式，然后将抛物线的解析式设为两点式，然后将点B的坐标代入即可求出抛物线的解析式；
（2）设
，则可表示出N的坐标，由MN的纵坐标相同可得到s和t的关系式，然后利用二次函数的性质求最大值即可；
（3）设点
，则可表示出PQ,CQ,DQ,再利用相似三角形的性质可用t分别表示出EF和EG的长度，则可求出答案．
（1）设直线OB的解析式为
，
将
代入解析式中得，
，
解得
，
∴直线OB解析式为；
∵抛物线经过点
，
∴可设抛物线解析式为
．
∵抛物线经过，
，
解得
，
∴抛物线解析式为
；
（2）设，则N的坐标为
，
轴，
，
，
∴当
时，MN有最大值，最大值为 ；
（3）
，理由如下：
过点P作
轴交x轴于点Q，
由
，
∴
．
设，则
，
，
，
，
．
同理
，
，
，
∴当P运动时，为定值18．
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