Question

【题目】如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=5，，点O是边BC上的动点，以OB为半径的与射线BA和边BC分别交于点E和点M，联结AM，作∠CMN=∠BAM，射线MN与边AD、射线CD分别交于点F、N．

（1）当点E为边AB的中点时，求DF的长；

（2）分别联结AN、MD，当AN//MD时，求MN的长；

（3）将绕着点M旋转180°得到，如果以点N为圆心的与都内切，求的半径长．

Answer 1

【答案】（1）DF的长为；（2）MN的长为5；（3）的半径长为．

【解析】

（1）作于，根据中位线定理得出四边形是平行四边形，从而利用解直角三角形即可求算半径，再根据平行四边形的性质求即可；

（2）先证，再证，从而证明，得到，再通过平行证明，从而得到，通过两式相乘得出再根据平行得出， 从而得出答案．

（3）通过图形得出垂直平分,从而得出，再利用解三角函数即可得出答案．

（1）如图，作于：

∵为中点，

∴

∴

∴

∴

设半径为，在中：

解得：

∵分别为中点

∴

又∵

∴

∴

∴四边形是平行四边形

∴

∴

（2）如图：连接

∵

∴

又∵

∴

又∵

∴

∴①

又∵

∴

∴②

由①②得;

∴

∴

故MN的长为5；

（3）作如图：

∵圆与圆外切且均与圆内切

设圆半径为，圆半径为

∴

∴在的中垂线上

∴垂直平分

∴

∵

∴点在圆上

∴

解得：

的半径长为