Question

已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC=3，BC=2，取AB的中点M，连接MC，把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO．
（1）试直接写出点D的坐标；
（2）已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连接OP．
①若以O、P、Q为顶点的三角形与△DAO相似，试求出点P的坐标；
②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得|TO-TB|的值最大？

Answer 1

分析：（1）由于M是AB的中点，即可得到AM=

3

2

，由此可求出M点的坐标，将M点坐标向左平移3个单位即可得到点D的坐标；
（2）①根据B、D的坐标即可确定抛物线的解析式，设出P点的横坐标，根据抛物线的解析式可得到P点纵坐标的表达式；由于∠PQO=∠DAO=90°，若以O、P、Q为顶点的三角形与△DAO相似，则有两种情况：1）、△PQO∽△DOA，2）、△OQP∽△DAO；根据上述两种情况所得的不同比例线段，即可求出P点的坐标；
②由于D、B关于抛物线的对称轴对称，若|TO-TB|的值最大，那么T点必为直线DO与抛物线对称轴的交点，根据抛物线的解析式可求出其对称轴方程，根据D点的坐标可求得直线DO的解析式，联立两个函数的解析式，即可求得T点的坐标．

解答：解：（1）依题意得：D（-

3

2

，2）；（3分）

（2）①∵OC=3，BC=2，
∴B（3，2）；
∵抛物线经过原点，
∴设抛物线的解析式为y=ax²+bx （a≠0）
又抛物线经过点B（3，2）与点D（-

3

2

，2）；
∴

9a+3b=2 9 4 a- 3 2 b=2

解得：

a= 4 9 b=- 2 3

∴抛物线的解析式为y=

4

9

x2-

2

3

x；（5分）
∵点P在抛物线上，
∴设点P（x，

4

9

x2-

2

3

x）；
1）、若△PQO∽△DAO，则

PQ

DA

=

QO

AO

，

4 9 x2- 2 3 x

3 2

=

x

2

，
解得：x₁=0（舍去）或x₂=

51

16

，
∴点P（

51

16

，

153

64

）；（7分）
2）、若△OQP∽△DAO，则

OQ

DA

=

PQ

AO

，

x

3 2

=

4 9 x2- 2 3 x

2

，
解得：x₁=0（舍去）或x₂=

9

2

，
∴点P（

9

2

，6）；（9分）
②存在点T，使得|TO-TB|的值最大．
抛物线y=

4

9

x2-

2

3

x的对称轴为直线x=

3

4

，设抛物线与x轴的另一个交点为E，则点E（

3

2

，0）；（10分）
∵点O、点E关于直线x=

3

4

对称，
∴TO=TE（11分）
要使得|TO-TB|的值最大，
即是使得|TE-TB|的值最大，
根据三角形两边之差小于第三边可知，当T、E、B三点在同一直线上时，|TE-TB|的值最大；（12分）
设过B、E两点的直线解析式为y=kx+b（k≠0），
∴

3k+b=2 3 2 k+b=0

解得：

k= 4 3 b=-2

∴直线BE的解析式为y=

4

3

x-2；
当x=

3

4

时，y=

4

3

×

3

4

-2=-1
∴存在一点T（

3

4

，-1）使得|TO-TB|最大．（13分）

点评：此题考查了矩形的性质，图象的平移变换，二次函数解析式的确定，相似三角形的判定和性质以及轴对称性质的应用，同时还考查了分类讨论的数学思想，能力要求较强，难度较大．