Question

（1997•北京）已知：如图，把矩形纸片OABC放入直角坐标系xOy中，使OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，连接AC，将△ABC沿AC翻折，点B落在该坐标平面内，设这个落点为D，CD交x轴于点E．如果CE=5，OC、OE的长是关于x的方程x²+（m-1）x+12=0的两个根，并且OC＞OE．
（1）求点D的坐标；
（2）如果点F是AC的中点，判断点（8，-20）是否在过D、F两点的直线上，并说明现由．

Answer 1

分析：（1）由于OC、OE的长是关于x的方程x²+（m-1）x+12=0的两个根，故可设OC=x₁，OE=x₂，x₁＞x₂．由根与系数的关系可知，x₁+x₂=-（m-1）．x₁•x₂=12．在Rt△COE中，由勾股定理可得出关于m的一元二次方程，求出m的值，故可得出x的值，进而得出OC，OE的长．再根据△ABC沿AC翻折后，点B的落点为点D．过D点作DG⊥x轴于G．DH⊥y轴于H．由反折变换的性质得出∠BCA=∠ACD．在矩形OABC中，CB∥OA，所以∠BCA=∠CAE．∠CAE=∠ACD．故EC=EA．由HL定理判断出Rt△COE≌Rt△ADE．在Rt△ADE中由DG•AE=ED•AD，
可得出DG的长，在△CHD中，因为OE∥HD，所以

CE

CD

=

CE

HD

可得出HD的长，再根据D是第四象限的点即可得出点D的坐标；
（2）根据F是AC的中点可得出点F的坐标，设过D、F两点的直线的解析式为y=kx+b（k≠0）．把D、F两点的坐标代入即可求出kb的值，故可得出其解析式，再把x=8，y=-20代入进行检验即可．

解答：解：（1）∵OC、OE的长是关于x的方程x²+（m-1）x+12=0的两个根，
设OC=x₁，OE=x₂，x₁＞x₂．
∴x₁+x₂=-（m-1）．x₁•x₂=12．
在Rt△COE中，
∵OC²+OE²=CE²，CE=5．
∴x₁²+x₂²=5²，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=25．
∴[-（m-1）]²-2×12=25，
解这个方程，得m₁=-6，m₂=8．
∵OC+OE=x₁+x₂=-（m-1）＞0，
∴m=8不符合题意，舍去．
∴m=-6．
解方程x²-7x+12=0，得
x₁=4，x₂=3．
∴OC=4，OE=3．
△ABC沿AC翻折后，点B的落点为点D．过D点作DG⊥x轴于G．DH⊥y轴于H．
∴∠BCA=∠ACD．
∵矩形OABC中，CB∥OA．
∴∠BCA=∠CAE．
∴∠CAE=∠ACD．
∴EC=EA．
在Rt△COE与Rt△ADE中，
∵

OC=AD EC=EA

∴Rt△COE≌Rt△ADE．
∴ED=3，AD=4，EA=5．
在Rt△ADE中，DG•AE=ED•AD，
∴DG=

ED•AD

AE

=

12

5

，
在△CHD中，OE∥HD，
∴

CE

CD

=

CE

HD

，

5

5+3

=

3

HD

，
∴HD=

24

5

，
由已知条件可知D是第四象限的点，
∴点D的坐标是（

24

5

，-

12

5

）；

（2）∵F是AC的中点，
∴点F的坐标是（4，2），
设过D、F两点的直线的解析式为y=kx+b．
∴

4k+b=2 24 5 k+b=- 12 5

，解得

k=- 11 2 b=24

，
∴过点D、F两点的直线的解析式为y=-

11

2

x+24，
∵x=8，y=-20满足上述解析式，
∴点（8，-20）在过D、F两点的直线上．

点评：本题考查的是一次函数综合题，涉及到图形反折变换的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质及用待定系数法求一次函数的解析式等相关知识，难度适中．