Question

如图，点C在BD上，在线段BD的同侧作等边△ABC和等边△CDE，AD、BE相交于点F．
（1）求证：BE=AD；
（2）求∠AFB的度数；
（3）设BE与AC交于点M，CE与AD交于点N，连接MN，试判断△MCN的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由等边三角形的性质就可以得出AC=BC，DC=EC，就可以得出△ACD≌△BCE而得出结论；
（2）由△ACD≌△BCE可以得出∠CAD=∠CBE，由外角与内角的关系就可以得出结论；
（3）由条件通过证明△ACN≌△BCM就可以得出CN=CM，就可以得出结论．

解答：解：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°．
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
∴∠ACD=∠BCE．
∵，∠ACB+∠DCE+∠ACE=180°，
∴∠ACE=60°．
∴∠ACE=∠ACB．
在△ACD和△BCE中

AC=BC ∠ACD=∠BCE DC=EC

∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD；
（2）∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE．
∵∠AFB=∠CBE+∠BDF，
∴∠AFB=∠CAD+∠BDF．
∵∠CAD+∠BDF=∠ACB=60°，
∴∠AFB=60°；
（3）∴△CNM为等边三角形理由：
在△ACN和△BCM中

∠CAD=∠CBE AC=BC ∠ACE=∠ACB

，
∴△ACN≌△BCM（ASA），
∴CN=CM．
∵∠ACE=60°，
∴△CNM为等边三角形．

点评：本题考查了全都呢过三角形的判定与性质的运用，等式的性质的运用，等边三角形的判定与性质的运用，三角形外角与内角的挂席的运用，解答时证明三角形全等是关键．