Question

如图，已知AB是⊙O的直径，AD⊥DC，AC平分∠DAB．
（1﹚求证：直线CD与⊙O相切于点C；
（2﹚如果AD和AC的长是一元二次方程x2-(2+

3

)x+2

3

=0的两根，求AD、AC、AB的长和∠DAB的度数．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵AD⊥DC，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠ACO，
又AC平分∠DAB，
∴∠CAB=∠CAD，
∴∠CAD=∠ACO，
∴∠ACD+∠ACO=90°，即OC⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；

（2）方程x²-（2+

3

）x+2

3

=0，即（x-2）（x-

3

）=0，
解得：x₁=

3

，x₂=2，
∵AD＜AC，∴AD=

3

，AC=2，
∴CD=

22-( 3 )2

=1，
∵CD=

1

2

AC，
∴∠CAD=30°，
∴∠BAD=60°，
连接BC，
∵AB为直径，∴∠ACB=90°，
设BC=x，则AB=2x，
∴x²+2²=（2x）²，
∵x＞0，
∴x=

2 3

3

，
则AB=

4 3

3

．