题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（-3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H，连接BM．
（1）求直线AC的解析式；
（2）动点P从点A出发，沿折线ABC的方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（3）动点P从点A出发，沿线段AB方向以2个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当∠MPB与∠BCO互为余角时，试确定t的值．
【答案】（1）直线AC的解析式为y=-
x+
．（2）S=-
t+
（0≤t＜
）．S=
t-
（
＜t≤5）；（3）t=
．
【解析】
试题分析：（1）过点A作AE⊥x轴，垂足为E，根据勾股定理求出OA的长，根据菱形的性质可得出C点坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式即可；
（2）先求出OM的长，再分点P在AB边上运动与点P在BC边上运动两种情况进行分类讨论；
（3）先根据菱形的性质及三角形内角和定理得出∠MPB=∠ABM，再根据等腰三角形的性质即可得出结论．
试题解析：（1）如图1，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．
∵A（-3，4），
∴AE=4，OE=3，
∴OA=
=5．
∵四边形ABCO是菱形，
∴OC=CB=BA=OA=5，
∴C（5，0）．设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（-3，4），C（5，0）代入得：
，
解得
，
∴直线AC的解析式为y=-
x+
．
（2）由（1）得点M的坐标为（0，
），
∴OM=
．
如图1，当点P在AB边上运动时．
由题意得OH=4，
∴HM=
．
∴S=
BP
MH=
（5-2t）×
∴S=-
t+
（0≤t＜
）．
如图2，当点P在BC边上运动时．
∵∠OCM=∠BCM，OC=BC，MC=MC．
∴△MOC≌△MBC．
∴BM=OM=
，∠MBC=∠MOC=90°．
∴S=
BP
BM=
（2t-5）×
∴S=
t-
（
＜t≤5）；
（3）∵∠AOC=∠ABC，∠MOC=∠MBC，
∴∠AOM=∠ABM．
∵∠MPB+∠BCO=90°，∠BAO=∠BCO，∠BAO+∠AOM=90°．
∴∠MPB=∠AOM，
∴∠MPB=∠ABM．
如图3，当点P在AB边上运动时．
∵∠MPB=∠ABM，
∴PM=BM．
∵MH⊥PB，
∴PH=HB=5-3=2，
∴PA=3-2=1．
∴t=
．
