题目内容

如图，Rt△OAB的斜边OA在x轴上，点B在第一象限，OA：OB=5：4．边AB的垂直平分线分别交AB、x轴于点C、D，线段CD交反比例函数y= $数学公式$ 的图象于点E．当BC=CE时，以DE为边的正方形的面积是

A.
$数学公式$
B.
1
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

A
分析：连结AE并且延长交OB于F点，连结BE，作FH⊥x轴于H，设OA=5x，则OB=4x，根据勾股定理计算出AB=3x，且A点坐标为（5x，0），根据垂直平分线的性质得CB=CA，EC⊥AB，EA=EB，DC= $\text{[math]}$ OB=2x，而BC=CE，则EC=CA=CB= $\text{[math]}$ x，所以△ABE为等腰直角三角形，同样得到△FBA为等腰直角三角形，则BF=BA=3x，EF=EA，得到OF=x，易证得Rt△OFH∽Rt△OAB，运用相似比可得到FH= $\text{[math]}$ x，OH= $\text{[math]}$ x，则F点坐标为（ $\text{[math]}$ x， $\text{[math]}$ x），在求出AF的中点E的坐标（ $\text{[math]}$ x， $\text{[math]}$ x），把E点坐标代入代入y= $\text{[math]}$ 求出x，则利用DE=DC-EC=2x- $\text{[math]}$ x= $\text{[math]}$ x求出DE，然后根据正方形面积公式计算即可．
解答：连结AE并且延长交OB于F点，连结BE，作FH⊥x轴于H，如图，

设OA=5x，则OB=4x，所以AB= $\text{[math]}$ =3x，A点坐标为（5x，0），
∵边AB的垂直平分线分别交AB、x轴于点C、D，
∴CB=CA，EC⊥AB，EA=EB，DC= $\text{[math]}$ OB=2x，
∵BC=CE，
∴EC=CA=CB= $\text{[math]}$ x，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE⊥AE，∠EBA=45°，
而∠OBA=90°，
∴BE平分∠FBA，
∴△FBA为等腰直角三角形，
∴BF=BA=3x，EF=EA，
∴OF=OB-BF=x，
∵∠FOH=∠AOB，
∴Rt△OFH∽Rt△OAB，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴FH= $\text{[math]}$ x，OH= $\text{[math]}$ x，
∴F点坐标为（ $\text{[math]}$ x， $\text{[math]}$ x），
∵E点为AF的中点，
∴E点坐标为（ $\text{[math]}$ x， $\text{[math]}$ x），
把E（ $\text{[math]}$ x， $\text{[math]}$ x）代入y= $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ x• $\text{[math]}$ x=3，解得x= $\text{[math]}$ ，
∴DE=DC-EC=2x- $\text{[math]}$ x= $\text{[math]}$ x= $\text{[math]}$ ，
∴以DE为边的正方形的面积=DE²=（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ ．
故选A．
点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、线段垂直平分线的性质和等腰直角三角形的判定与性质；熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算．