Question

已知：如图，AB、AC、ED分别切⊙O于点B、C、D，且AC⊥DE，垂足为E，BC的延长线交直线DE于点F，若BC＝24，sin∠F＝．

(1)求EF的长；

(2)试判断直线AB与CD是否平行，若平行，给出证明；若不平行，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵AC⊥DE，∴∠CEF＝． 　　∵sin∠F＝，设CE＝3x，则CF＝5x，由勾股定理得EF＝4x． 　　∵ED、EC分别与⊙O相切， 　　∴ED＝EC＝3x． 　　由切割线定理知：FD2＝FC·FB． 　　∴(7x2)＝5x(5x＋24)． 　　化简整理，得x2－5x＝0， 　　∴x1＝5，x2＝0(不合题意，舍去)． 　　∴EF＝4x＝20． 　　(2)AB与CD不平行，下面证明之． 　　[证法一] 　　连结BD．∵ED切⊙O于点D， 　　∴∠CBD＝∠CDF， 　　又∵∠F＝∠F， 　　∴△BDF∽△DCF． 　　∴＝．　　① 　　由(1)知CF＝5x＝25，DF＝7x＝35， 　　在等腰直角△CDE中，由勾股定理得DC＝15． 　　把CF＝25，DF＝35，DC＝15代入①，得BD＝21． 　　在△BDC中，∵BD≠BC， 　　∴∠BDC≠∠BCD． 　　而∠ABC＝∠BDC(弦切角定理)， 　　∴∠ABC≠∠BCD， 　　∴AB与CD不平行． 　　此题还可以用反证法来证明．思路是：假定AB∥CD(否定结论)，由此导致矛盾，故断言AB与CD不平行． 　　[证法二] 　　假设AB∥CD，则∠BCD＝∠ABC， 　　又∵∠BDC＝∠ABC， 　　∴∠BCD＝∠BDC，则BD＝BC＝24． 　　由△BDF∽△DCF，得＝． 　　由(1)知CF＝25，DF＝35，在等腰直角三角形DCE中，可求得DC＝15． 　　∴＝． 　　∴BD＝21，这与前面求得BD＝24矛盾． 　　∴假设不成立． 　　∴AB与CD不平行．

提示：

(1)本小题要求EF的长，需要找出它与已知线段BC的关系，求解的关键在于利用条件sin∠F＝．设CE＝3x，则CF、EF都可用含x的代数式来表示；再由切割线定理给出的等量关系列出关于x的一元二次方程，便可求得EF的长．几何综合题中的计算问题，往往都要利用方程的思想求解． 　　(2)本小题是个开放性问题，面对开放性问题的多种可能结论，往往是首先作出“猜想”，然后再给出严格证明或科学解释．本题只要根据条件准确地作出图形，就能观察出AB、CD是不平行的．而证明两直线不平行的主要依据是平行线性质定理的逆否定理，为此，连结BD，通过它来证明它们有一对内错角不相等．