Question

15．已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放，（点C与E点重合），点B、C、E、F始终在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=10，如图2，△DEF从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速移动，同时，点P从A出发，沿AB以每秒1个单位向点B匀速移动，AC与△DEF的直角边相交于Q，当P到达终点B时，△DEF同时停止运动．连接PQ，设移动的时间为t （s）．解答下列问题：
（1）Rt△DEF在平移的过程中，当点D分别在Rt△ABC的AC、AB边上时，求出t的对应值；
（2）在移动的过程中，设Rt△ABC和Rt△DEF重叠部分的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式；
（3）在移动的过程中，是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形性质求出即可，过点D作DM⊥EF于M，根据等腰直角三角形的性质求出ME=3，再表示出BM，然后根据△DBM和△ABC相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解得到t；
（2）首先分类讨论，画出各种不同时间段的图形，计算各段函数关系式即可；
（3）①AP=AQ，求出即可；②AP=PQ，作PH⊥AC于H，根据相似得出比例式，即可求出答案；③AQ=PQ，作PH⊥AC于H，根据相似得出比例式，④当5≤t≤10时，AQ=PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，利用相似与勾股定理，即可求出答案

解答 解：（1）如图1，过点D作DM⊥EF于点M，

∵∠EDF=90°，∠DEF=45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∵EF=10，
∴DM=EM=MF=5，
∵EC=t，
∴EB=t-6，
∴BM=6-（t-6）=12-t，
∵∠ACB=90°，DM⊥EF，
∴DM∥AC，
∴△DBM∽△ABC，
∴$\frac{BH}{BC}=\frac{DH}{AC}$，
∴$\frac{BH}{6}=\frac{5}{8}$，
解得：BH=$\frac{15}{4}$，
∴CH=6-$\frac{15}{4}$=$\frac{9}{4}$，t=5+$\frac{9}{4}$=$\frac{29}{4}$，
解得t=$\frac{29}{4}$；
当D在AC上时，
∵DE=DF，
∴EC=CF=$\frac{1}{2}$EF=5，
∴t=5．
（2）如图2，0≤t≤5时，S=$\frac{1}{2}$t²；

如图3，5＜t≤6时，S=$\frac{1}{2}$•10•5-$\frac{1}{2}$•（10-t）²=$-\frac{1}{2}{t}^{2}+10t-25$；

如图5，当点D落在AB上时，作DH⊥BC，DH=EH=5，PH∥AC，

∴$\frac{BH}{BC}=\frac{DH}{AC}$，
∴$\frac{BH}{6}=\frac{5}{8}$，
解得：BH=$\frac{15}{4}$，
∴CH=6-$\frac{15}{4}$=$\frac{9}{4}$，CE=5+$\frac{9}{4}$=$\frac{29}{4}$，
∴如图4，当6＜t≤$\frac{29}{4}$时，

作PH⊥BC，则PH=EH，BH=EH-BE=PH-BE
∵PH∥AC
∴△BPH∽△BAC
∴$\frac{PH}{AC}=\frac{BH}{BC}$，
∴$\frac{PH}{8}=\frac{PH-（t-6）}{6}$，
∴PH=4t-24
∴S═$\frac{1}{2}$•10•5-$\frac{1}{2}$•（t-6）•（4t-24）-$\frac{1}{2}$•（10-t）²=-$\frac{5}{2}{t}^{2}+34t-97$；
如图6，当$\frac{29}{4}$＜t≤10时，CH=t-5，AG=8-（10-t）=t-2，

∴S=$\frac{1}{2}$•（t-1）•（t-5）=$\frac{1}{2}{t}^{2}+3t+\frac{5}{2}$；
（3）存在．
∵AP=t，∠EDF=90°，∠DEF=45°，
∴∠CQE=45°=∠DEF，
∴CQ=CE=t，
AQ=8-t，当0≤t＜5时，
①AP=AQ，
t=8-t，
∴t=4；
②AP=PQ，
作PH⊥AC于H，如图7：

AH=HQ=$\frac{1}{2}$AQ=4-$\frac{1}{2}$t，
∵PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AH}$=$\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{t}{4-\frac{1}{2}t}$=$\frac{10}{8}$，
∴t=$\frac{40}{13}$；
③AQ=PQ，
作QI⊥AB于I，如图8：

AI=PI=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$t（等腰三角形的性质三线合一），
∵∠AIQ=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△AIQ∽△ACB，
∴$\frac{AI}{AQ}$=$\frac{AC}{AB}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}t}{8-t}$=$\frac{8}{10}$，
∴t=$\frac{64}{13}$，
④当5≤t≤10时，AQ=PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，如图9：

同理可求出，
FC=QC=10-t，BP=10-t，
PH=$\frac{4}{5}$（10-t）=8-$\frac{4}{5}$t，
BH=$\frac{3}{5}$（10-t）=6-$\frac{3}{5}$t，
QG=QC-GC=QC-PH=10-t-（8-$\frac{4}{5}$t）=2-$\frac{t}{5}$，
PG=HC=6-（6-$\frac{3}{5}$t）=$\frac{3}{5}$t，
PQ=AQ=8-（10-t）=t-2，
∴PQ ²=PG ²+QG ²，
（t-2）²=（ $\frac{3}{5}$t） ²+（2-$\frac{t}{5}$） ²，
解得：t=$\frac{16}{3}$秒，
其它情况不符合要求．
综合上述：当t等于4秒、$\frac{40}{13}$秒、$\frac{64}{13}$秒、$\frac{16}{3}$秒时△APQ是等腰三角形．

点评 本题是相似形综合题，主要利用了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，菱形的性质，难点在于（2）（3）两个小题要分情况讨论，作出图形更形象直观．