Question

若抛物线y=ax²+bx+3与y=-x²+3x+2的两交点关于原点对称，则ab=________．

Answer 1

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分析：设两交点坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），因为抛物线的交点和关于原点对称，则x₁+x₂=0，y₁+y₂=0，构造方程组即可得到（a+1）x²+（b-3）x+1=0，由x₁+x₂=0，求出b的值，再求出a的值，代入ab即可求出答案．
解答：由题可得：ax²+bx+3=-x²+3x+2，
（a+1）x²+（b-3）x+1=0．
∵两交点关于原点对称，那么两个横坐标的值互为相反数；两个纵坐标的值也互为相反数．
则两根之和为：-=0，两根之积为＜0（关于原点对称的点的横坐标、纵坐标分别互为相反数），
解得b=3，a＜-1．
设两个交点坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
这两个根都适合第二个函数解析式，
代入第二个函数解析式得：y₁=-x₁²+3x₁+2，y₂=-x₂²+3x₂+2
那么y₁+y₂=-（x₁²+x₂²）+3 （x₁+x₂）+4=0，
∵x₁+x₂=0，
∴y₁+y₂=-（x₁+x₂）²+2x₁x₂+4=0，
解得x₁x₂=-2，
代入两根之积得=-2，
解得a=-，
故a=-，b=3．
∴ab=3×（-）=-．
故答案为：-．
点评：本题主要考查了二次函数的性质，解二元一次方程组，根与系数的关系等知识点，解此题的关键是构造方程组得到两根之和和两根之积，进一步求出a、b的值．此题难度较大，综合性强．