题目内容
（2013•平谷区一模）如图，在直角坐标系中，已知直线y=| 1 |
| 2 |
（1）点C的坐标为
（-3，2）
（-3，2）
，点D的坐标为（-1，3）
（-1，3）
；（2）若抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）经过C、D两点，求该抛物线的解析式；
（3）若正方形以每秒
| 5 |
分析：（1）构造全等三角形，由全等三角形对应线段之间的相等关系，求出点C、点D的坐标；
（2）将C、D两点的坐标代入y=ax2+bx+2，利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（3）为求s的表达式，需要识别正方形（与抛物线）的运动过程．正方形的平移，从开始到结束，总共历时
秒，期间可以划分成三个阶段：当0＜t≤
时，对应图2；当
＜t≤1时，对应图3；当1＜t≤
时，对应图4．每个阶段的表达式不同，请对照图形认真思考．
（2）将C、D两点的坐标代入y=ax2+bx+2，利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（3）为求s的表达式，需要识别正方形（与抛物线）的运动过程．正方形的平移，从开始到结束，总共历时
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
解答：
解：（1）∵y=
x+1，
∴当x=0时，y=1，即A点坐标为（0，1），
当y=0时，x=-2，即B点坐标为（-2，0）．
如图1，过D点作DH⊥y轴于H，过C点作CG⊥x轴于G．
易证△ADH≌△BAO，∴DH=OA=1，AH=OB=2，∴D（-1，3）；
同理△CBG≌△BAO，∴BG=OA=1，CG=OB=2，∴C（-3，2）．
故答案为（-3，2），（-1，3）；
（2）将C（-3，2）、D（-1，3）两点的坐标代入y=ax2+bx+2，
得
，解得
，
∴y=-
x2-
x+2；
（3）①当点D运动到y轴上时，t=
．
当0＜t≤
时，如图2，设D′A′交y轴于点F．
∵tan∠BAO=
=2，又∵∠BAO=∠FAA′，
∴tan∠FAA′=2，即
=2，
∵AA′=
t，∴FA′=2
t．?
∴S△AA′F?=
AA′•FA′=
×
t×2
t=5t2；?
当点B运动到点C时，t=1．
②
当
＜t≤1时，如图3，设D′C′交y轴于点G，过G作GH⊥B′A′于H．
在Rt△BOA中，BA=
=
，
∴GH=
，∴AH=
GH=
，
∵AA′=
t，∴HA′=
t-
，∴GD′=
t-
，
∴S梯形AA′D′G?=
（
t-
+
t）
=5t-
；
当点E运动到y轴上时，t=
．
③当1＜t≤
时，如图4，设D′E′、E′B′分别交y轴于点M、N．
∵AA′=
t，B′A′=
，
∴AB′=
t-
，?∴B′N=2AB′=2
t-2
，
∵B′C′=
，∴C′N=B′C′-B′N=3
-2
t，
∴C′M=
C′N=
（3
-2
t），
∴S△MNC′=
（3
-2
t）•
（3
-2
t）=5t2-15t+
，
∴S五边形B′A′D′MN?=S正方形B′A′D′C′?-S△MNC′=（
）2-（5t2-15t+
）=-5t2+15t-
．
综上所述，S与x的函数关系式为：
当0＜t≤
时，S=5t2；
当
＜t≤1时，S=5t-
；
当1＜t≤
时，S=-5t2+15t-
．
解：（1）∵y=| 1 |
| 2 |
∴当x=0时，y=1，即A点坐标为（0，1），
当y=0时，x=-2，即B点坐标为（-2，0）．
如图1，过D点作DH⊥y轴于H，过C点作CG⊥x轴于G．
易证△ADH≌△BAO，∴DH=OA=1，AH=OB=2，∴D（-1，3）；
同理△CBG≌△BAO，∴BG=OA=1，CG=OB=2，∴C（-3，2）．
故答案为（-3，2），（-1，3）；
（2）将C（-3，2）、D（-1，3）两点的坐标代入y=ax2+bx+2，
得
|
|
∴y=-
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
（3）①当点D运动到y轴上时，t=| 1 |
| 2 |
当0＜t≤
| 1 |
| 2 |
∵tan∠BAO=
| OB |
| OA |
∴tan∠FAA′=2，即
| FA′ |
| AA′ |
∵AA′=
| 5 |
| 5 |
∴S△AA′F?=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 5 |
当点B运动到点C时，t=1．
②
当| 1 |
| 2 |
在Rt△BOA中，BA=
| 22+12 |
| 5 |
∴GH=
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∵AA′=
| 5 |
| 5 |
| ||
| 2 |
| 5 |
| ||
| 2 |
∴S梯形AA′D′G?=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| ||
| 2 |
| 5 |
| 5 |
| 5 |
| 4 |
当点E运动到y轴上时，t=
| 3 |
| 2 |
③当1＜t≤
| 3 |
| 2 |
∵AA′=
| 5 |
| 5 |
∴AB′=
| 5 |
| 5 |
| 5 |
| 5 |
∵B′C′=| 5 |
| 5 |
| 5 |
∴C′M=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 5 |
∴S△MNC′=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 5 |
| 45 |
| 4 |
∴S五边形B′A′D′MN?=S正方形B′A′D′C′?-S△MNC′=（
| 5 |
| 45 |
| 4 |
| 25 |
| 4 |
综上所述，S与x的函数关系式为：
当0＜t≤
| 1 |
| 2 |
当
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
当1＜t≤
| 3 |
| 2 |
| 25 |
| 4 |
点评：本题是非常典型的动线型综合题，全面考查了初中数学代数几何的多个重要知识点，包括：二次函数的图象与性质、待定系数法求解析式、抛物线与几何变换（平移）、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等．难点在于第（3）问，识别正方形和抛物线平移过程的不同阶段是关键所在．作为中考压轴题，本题涉及考点众多，计算复杂，因而难度很大，对考生综合能力要求很高，具有很好的区分度．
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