Question

【题目】如图，以点为圆心，为半径作优弧，连接，，且，在弧上任意取点(点在点的顺时针方向）且使，以为边向弧内作正三角形．

（1）发现：不论点在弧上什么位置，点与点的距离不变，点与点的距离是_____；点到直线的最大距离是_______．

（2）思考：当点在直线上时，求点到的距离，在备用图1中画出示意图，并写出计算过程．

（3）探究：当与垂直或平行时，直接写出点到的距离．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；画出示意图见解析；（3）

【解析】

（1）根据垂直平分线的判定可证得CO垂直平分AB，再利用勾股定理分别求得OG、CG的长，进而可得OC长，如图2，当CO⊥EF时，点到直线的距离最大，利用60的正弦值可求得OH的长，进而求得EF的最大值；

（2）先画出示意图，然后先证∽，由相似三角形的性质可求得点到的距离；

（3）分别画出⊥及∥时的示意图，然后利用特殊角的三角函数值可求得点到的距离．

（1）解：如图1，连接OA、OB、OC，延长OC交AB于点G，

在正△ABC中，AB＝BC＝AC＝2

∵OA＝OB，AC＝BC，

∴OC垂直平分AB，

∴AG＝AB＝1，

∴在Rt△AGC中，CG＝，

在Rt△AGO中，OG＝，

∴OC＝OE-CE＝,

如图2，延长CO交EF于点H，

当CO⊥EF时，点到直线的距离最大，最大距离为CH的长，

∵OE＝OF，CO⊥EF，

∴CO平分∠EOF，

∵

∴，

在Rt△EOH中，cos∠EOH＝，

∴cos60°＝，

∴OH＝，

∴CH＝CO＋OH＝

∴点到直线的最大距离是．

（2）如备用图1，当点在直线时，

由可知，

点都在线段的垂直平分线上，

过点作的垂线垂足为，

则为中点，直线过点.

由

可得∽，

，

，

（3）如图3，当BC⊥OE时，设垂足为点M，

∵∠EOF＝120°，

∴∠COM＝180°-120°＝60°，

在Rt△COM中，sin∠COM＝，

∴sin60°＝,

∴

如图4，当BC∥OE时，过点C作CN⊥OE，垂足为点N，

∵BC∥OE ，

∴∠CON＝∠GCB＝30°，

在Rt△CON中，sin∠CON＝，

∴sin30°＝,

∴，

综上所述，当与垂直或平行时，点到的距离为或．