Question

【题目】数学课上老师提出了如下问题：

尺规作图：作中边上的高线

已知：．

求作：中边上的高线．

下面是小东设计的“作中边上的高线”的尺规作图过程．

作法：如图，

①以点为圆心，的长为半径作弧，以点为圆心，的长为半径作弧，两弧在下方交于点；

②连接交于点．

所以线段是中边上的高线．

根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）小乐和小马帮助小东完成下面的证明．

小乐：证明：，，

点，分别在线段的垂直平分线上（依据1）．

垂直平分线段．

线段是中边上的高线．

小乐：证明：，，

又

（依据2）

∴线段是中边上的高线

上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别指什么?

（3）请你用不同于小东的方法完成老师提出的问题．

（4）若，，，则边上的高的长度为__________．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）依据1：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；依据2：三线合一；（3）详见解析；（4）

【解析】

（1）根据要求画出图形即可；
（2）根据线段的垂直平分线的判定和等腰三角形的性质即可解决问题

（3）可以先构造一个等腰三角形然后利用垂直平分线的判定作出高线

（4）利用30°的特殊性质及勾股定理即可求出答案

解：（1）图形如图所示：

（2）依据1：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上

依据2：三线合一

（3）如图所示

①以为圆心长为半径在上截取

②以任意长为半径分别以、为圆心画弧交于点E

③连接交于即为所求

（4）