题目内容
若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形，如图1，矩形ABCD中，BC=2AB，则称ABCD为方形．
（1）设a，b是方形的一组邻边长，写出a，b的值（一组即可）．
（2）在△ABC中，将AB，AC分别五等分，连结两边对应的等分点，以这些连结线为一边作矩形，使这些矩形的边B1C1，B2C2，B3C3，B4C4的对边分别在B2C2，B3C3，B4C4，BC上，如图2所示．
①若BC=25，BC边上的高为20，判断以B1C1为一边的矩形是不是方形？为什么？
②若以B3C3为一边的矩形为方形，求BC与BC边上的高之比．
【答案】分析：（1）答案不唯一，根据已知举出即可；
（2）①求出△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4，推出
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，
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，
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，
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，求出B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15，B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16，MN=GN=GH=HE=4，B1Q=B2O=B3Z=B4K=4，根据已知判断即可；
②设AM=h，根据△ABC∽△AB3C3，得出
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，求出MN=GN=GH=HE=
h，分为两种情况：当B3C3=2×
h，时，当B3C3=
×
h时，代入求出即可．
解答：
解：（1）答案不唯一，如a=2，b=4；
（2）①以B1C1为一边的矩形不是方形．
理由是：过A作AM⊥BC于M，交B1C1于E，交B2C2于H，交B3C3于G，交B4C4于N，则AM⊥B4C4，AM⊥B3C3，AM⊥B2C2，AM⊥B1C1，
∵由矩形的性质得：BC∥B1C1∥B2C2∥B3C3∥B4C4，
∴△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4，
∴
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，
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，
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，
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，
∵AM=20，BC=25，
∴B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15，B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16，
∴MN=GN=GH=HE=4，
∴B1Q=B2O=B3Z=B4K=4，
即B1C1≠2B1Q，B1Q≠2B1C1，
∴以B1C1为一边的矩形不是方形；
②∵以B3C3为一边的矩形为方形，设AM=h，
∴△ABC∽△AB3C3，
∴
=
=
，
则AG=
h，
∴MN=GN=GH=HE=
h，
当B3C3=2×
h，时，
=
；
当B3C3=
×
h时，
=
．
综合上述：BC与BC边上的高之比是
或
．
点评：本题考查了相似三角形的性质和判定和矩形的性质的应用，注意：相似三角形的对应高的比等于相似比．
（2）①求出△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4，推出
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，
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，
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，
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，求出B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15，B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16，MN=GN=GH=HE=4，B1Q=B2O=B3Z=B4K=4，根据已知判断即可；②设AM=h，根据△ABC∽△AB3C3，得出
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=
，求出MN=GN=GH=HE=
h，分为两种情况：当B3C3=2×
h，时，当B3C3=
×
h时，代入求出即可．解答：
解：（1）答案不唯一，如a=2，b=4；（2）①以B1C1为一边的矩形不是方形．
理由是：过A作AM⊥BC于M，交B1C1于E，交B2C2于H，交B3C3于G，交B4C4于N，则AM⊥B4C4，AM⊥B3C3，AM⊥B2C2，AM⊥B1C1，
∵由矩形的性质得：BC∥B1C1∥B2C2∥B3C3∥B4C4，
∴△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4，
∴
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，
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，
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，∵AM=20，BC=25，
∴B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15，B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16，
∴MN=GN=GH=HE=4，
∴B1Q=B2O=B3Z=B4K=4，
即B1C1≠2B1Q，B1Q≠2B1C1，
∴以B1C1为一边的矩形不是方形；
②∵以B3C3为一边的矩形为方形，设AM=h，
∴△ABC∽△AB3C3，
∴
=
=
，则AG=
h，∴MN=GN=GH=HE=
h，当B3C3=2×
h，时，
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；当B3C3=
×
h时，
=
．综合上述：BC与BC边上的高之比是
或
．点评：本题考查了相似三角形的性质和判定和矩形的性质的应用，注意：相似三角形的对应高的比等于相似比．
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