Question

如图，第①个等腰直角三角形的直角边长等于1，以它的斜边长为腰长作第②个等腰直角三角形，再以第②个等腰直角三角形的斜边长为腰长作第③个等腰直角三角形…．依次得到一系列的等腰直角三角形，其序号依次为①、②、③、④、…．
（1）分别求出第①、②、③、④个等腰直角三角形的斜边长；
（2）归纳出第n个等腰直角三角形的斜边长．（n为正整数）

Answer 1

分析：（1）根据勾股定理分别计算；
（2）根据（1）中得到的数据，发现：第n个等腰直角三角形所对应的斜边正好是2的n次方的算术平方根．

解答：解：（1）第①个等腰直角三角形斜边长为

12+12

=

2

；
第②个等腰直角三角形的斜边长为

( 2 )2+( 2 )2

=2；
第③个等腰直角三角形的斜边长为

22+22

=2

2

；
第④个等腰直角三角形的斜边长为

(2 2 )2+(2 2 )2

=4．

（2）∵第①、②、③、④个等腰直角三角形的斜边长分别为（

2

）¹=

2

，（

2

）²=2，
（

2

）³=2

2

，（

2

）⁴=4，故第n个等腰直角三角形的斜边长为（

2

）ⁿ．

点评：能够熟练运用勾股定理，观察被开方数之间的联系．