Question

如图，点M是矩形ABCD的边AD中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足分别为E、F，
（1）当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长与宽应满足什么条件？
（2）在（1）中，当点P运动到什么位置时，四边形PEMF变为正方形？为什么？

Answer 1

分析：（1）四边形PEMF中已经有两个直角了，若为矩形，还需再有一个直角，即∠BMC=90°由于矩形是轴对称图形，因此∠AMB=∠4=45°，即AB=AM=MD．
（2）四边形PEMF为正方形，只需PE=PF，因此P是BC中点．

解答：（1）当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=DC，
∵在△AMB与△DMC中，

AB=DC ∠A=∠D AM=DM

，
∴△AMB≌△DMC（SAS），
∴∠AMB=∠4，
∵四边形PEMF为矩形，
∴∠BMC=90°，
∴∠AMB=∠4=45°，
∴AM=DM=DC，即AD=2DC；

（2）答：当点P运动到BC中点时，四边形PEMF变为正方形．
∵△AMB≌△DMC，
∴MB=MC．
∵四边形PEMF为矩形，
∴PE∥MB，PF∥MC，
又∵点P是BC中点，
∴PE=PF=

1

2

MC，
∴四边形PEMF为正方形．

点评：此题主要考查了矩形、等腰直角三角形、全等三角形的判定和性质，以及正方形的判定．熟练掌握各特殊平行四边形的判定和性质是解答此题的关键．