Question

设关于未知数x的方程x²-5x-m²+1=0的实根为α、β，试确定实数m的取值范围，使|α|+|β|≤6成立．

Answer 1

分析：根据x的方程x²-5x-m²+1=0的实根为α、β，由根与系数的关系列出不等式即可解出m的取值范围．

解答：解：∵△=5²+4（m²-1）=4m²+21，
∴不论m取何值，
所给的方程都有两个不相等的实根．
∵α+β=5，αβ=1-m²，|α|+|β|≤6，
∴α²+β²+2|αβ|≤36，
即（α+β）²-2αβ+2|αβ|≤36．
∴25-2（1-m²）+2|1-m²|≤36，
当1-m²≥0时，25≤36成立，
∴-1≤m≤1．（1）
当1-m²＜0时，
得25-4（1-m²）≤36，
∴-

15

2

≤m≤

15

2

．（2）
由（1）、（2）得-

15

2

≤m≤

15

2

．

点评：本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是正确灵活运用根与系数的关系列出不等式．