Question

（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径作⊙O交AB于点D，取AC的中点E，连结DE、OE．

（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果⊙O的半径是1.5cm，ED=2cm，求AB的长．

Answer 1

（1）详见解析；（2）5cm.

【解析】

试题分析：（1）可证明DE是⊙O的切线，只要证得∠ODE=90°即可．

（2）先利用勾股定理求出OE的长，再利用中位线定理，可求出AB的长．

试题解析：证明：（1）连结OD．

由O、E分别是BC、AC中点得OE∥AB．

∴∠1=∠2，∠B=∠3，又OB=OD．

∴∠2=∠3．

而OD=OC，OE=OE

∴△OCE≌△ODE．

∴∠OCE=∠ODE．

又∠C=90°，故∠ODE =90°．

∴DE是⊙O的切线．

（2）在Rt△ODE中，由OD=1.5，DE=2，

得OE=2.5，

又∵O、E分别是CB、CA的中点，

∴AB=2×OE=2×2.5=5，

∴所求AB的长是5cm．

考点：1、三角形全等的判定和性质；2、切线的判定；3、三角形的中位线定理.