Question

如图，∠BAD与∠BCD的一边相交于点O，AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD，并相交于点M，AM交BC于点E，CM交AD于点F．
（1）若∠B=α，∠D=β，求∠M的度数（用α、β的代数式表示）；
（2）若∠B=∠D，ME=MF，求证：AB=CD．

Answer 1

分析：（1）根据三角形内角和定理用∠B、∠M表示出∠BAM-∠BCM，再用∠B、∠M表示出∠MAD-∠MCD，再根据角平分线的定义可得∠BAM-∠BCM=∠MAD-∠MCD，然后求出∠M与∠B、∠D关系，代入进行计算即可得解；
（2）首先利用（1）中结论得出∠MAF=∠DCF，进而得出△AMF≌△CME，即可得出AE=CF，再求出∠BAE=∠DCF，进而得出△ABE≌△DCF（AAS）即可得出答案．

解答：（1）解：根据三角形内角和定理，∠B+∠BAM=∠M+∠BCM，
所以，∠BAM-∠BCM=∠M-∠B，
同理，∠MAD-∠MCD=∠D-∠M，
∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD，
∴∠BAM=∠MAD，∠BCM=∠MCD，
∴∠M-∠B=∠D-∠M，
∴∠M=

1

2

（∠B+∠D），
∵∠B=α，∠D=β，
∴∠M=

1

2

（α+β）；

（2）证明：∵∠B=∠D，∠M=

1

2

（∠B+∠D）=∠B=∠D，
∴∠D=∠M，
∵∠AFM=∠DFC，
∴∠MAF=∠DCF，
∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD，
∴∠ACE=∠DCM=∠MAF，
在△AMF和△CME中，

∠MAF=∠MCE ∠M=∠M MF=ME

，
∴△AMF≌△CME（AAS），
∴AM=CM，
∵EM=MF，
∴AE=CF，
∵∠B=∠D，∠BOA=∠DOC，
∴∠BAO=∠DCO，
∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD，
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△DCF中，

∠B=∠D ∠BAE=∠DCF AE=CF

，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AB=CD．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义以及全等三角形的判定与性质等知识，利用“8字形”的对应角相等求出角的关系是解题的关键，要注意整体思想的利用．