Question

如图，已知抛物线y₁=x²+bx+c经过，两点，顶点为．

（1）求抛物线y₁ 的解析式；

（2）将绕点顺时针旋转90°后，点落到点的位置，将抛物线沿轴平移后经过点，写出平移后所得的抛物线y₂ 的解析式；

（3）设（2）的抛物线y₂与轴的交点为，顶点为，若点在抛物线y₂上，且满足的面积是面积的2倍，求点的坐标．

Answer 1

（1）答：OD=OE．

证明：连结OC（如图）．

∵ AB为⊙O直径，∴ ∠ACB＝90°．

∵ AC=BC，∴△ACB是等腰直角三角形．

∵ AO＝BO，∴ CO⊥AB，∠ACO＝∠ACB＝45°．

∴ ∠ACO＝∠B＝45°．

又 ∠DOC＋∠COE＝∠BOE＋∠EOC＝90°，

∴ ∠DOC＝∠BOE．

∵ OC=OB，∴ △OCD≌△OBE．∴ OD＝OE．

（2）共有四种情况，

① 当点C与点E重合，即CE＝0时，OE＝OB；

② 当点E为CB中点，即CE＝1时，OE＝BE；

③ 当点E在线段CB上，且CE＝2－时，OB＝EB；

④ 当E在CB的延长线上，且CE＝2＋时，OB＝EB．……………………6′

    （3）答：MD∶ME＝1∶3 ．

　  证明：分别过点M作MF⊥AC、MH⊥BC，垂足分别是F、H．（如图）

　∵ ∠A＝∠B＝45°, ∴ Rt△AFM∽Rt△BHM．

∴ ．

∵ ∠C＝90°，∴ ∠FMH＝90°．

∴ ∠FMD＋∠DMH＝∠EMH＋∠HMD=90°．

∴ ∠FMD＝∠EMH．

∴ Rt△FMD∽Rt△HME．

∴ ．′