Question

如图，△A₁A₂B是直角三角形，∠A₁A₂B=90°，且A₁A₂=A₂B=4，A₂A₃⊥A₁B，垂足为A₃，A₃A₄⊥A₂B，垂足为A₄，A₄A₅⊥A₃B，垂足为A₅，A₅A₆⊥A₄B，垂足为A₆，一直按此做下去，…则△A_nA_n+1B的面积为（　　）

• A、8×（

  1

  2

  ）ⁿ
• B、4×（

  1

  2

  ）ⁿ
• C、8×（

  1

  2

  ）^n-1
• D、8×（

  1

  2

  ）ⁿ⁺¹

Answer 1

考点：等腰直角三角形

专题：规律型

分析：根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的

2

2

倍分别表示出A₂A₃、A₃A₄、A₄A₅、A₅A₆…A_nA_n+1，再根据等腰直角三角形的面积等于直角边平方的

1

2

进行计算即可得解．

解答：解：由题意可知，截出的直角三角形都是等腰直角三角形，
∴A₂A₃=

2

2

A₁A₂，
A₃A₄=

2

2

A₂A₃=（

2

2

）²A₁A₂，
A₄A₅=

2

2

A₃A₄=（

2

2

）³A₁A₂，
A₅A₆=

2

2

A₄A₅=（

2

2

）⁴A₁A₂，
…，
A_nA_n+1=

2

2

A_n-1A_n=（

2

2

）^n-1A₁A₂，=4×（

2

2

）^n-1，
所以，△A_nA_n+1B的面积=

1

2

×[4×（

2

2

）^n-1]²=

1

2

×16×

1

2n-1

=8×（

1

2

）^n-1．
故选：C．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积，熟记等腰直角三角形的直角边等于斜边的

2

2

倍并表示出A_nA_n+1的长度是解题的关键．