题目内容
【题目】如图，抛物线
与x轴交于点A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．
（1）求A，B两点的坐标．
（2）点P是线段BC下方的抛物线上的动点，连结PC，PB．
①是否存在一点P，使△PBC的面积最大，若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由．
②连结AC，AP，AP交BC于点F，当∠CAP＝∠ABC时，求直线AP的函数表达式．
【答案】（1）A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（4，0）；（2）①存在，见解析，面积的最大值为4，②
.
【解析】
（1）令y=0，则x=1或-4，令x=0，则y=2，即可求解；
（2）①S△PBC=
×PH×OB，即可求解；
②证明△ACF∽△BCA，求得：CF=
，BF=BC-CF=
，由BF2=（m-4）2+（m-2）2=（）2，即可求解．
（1）令y＝0，则x＝1或﹣4，令x＝0，则y＝2，
即点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（4，0）、（0，﹣2）；
（2）①存在，理由：过点P作HP∥y轴交BC于点H，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b得：
，解得：
，
故直线BC的表达式为：y＝x﹣2，
设点P坐标为（x，
）、H（x，x﹣2），
S△PBC＝×PH×OB＝×（x﹣2
）×4＝﹣x2+4x，
∵﹣1＜0，故S△PBC有最大值，
当x＝2时，面积的最大值为4，此时点P（2，﹣3）；
②∠CAP＝∠ABC，∠ACF＝∠ACF，∴△ACF∽△BCA，
∴AC2＝BCCF，其中AC＝
，BC＝2，
故：CF＝，BF＝BC﹣CF＝，
设点F的坐标为（m，m﹣2），
则：BF2＝（m﹣4）2+（m﹣2）2＝（）2，
解得：m＝1或7（舍去m＝7），
故点F坐标（1，﹣
），
将点A、F坐标代入一次函数表达式y＝kx+b，
同理可得：直线AF（或直线AP）的表达式为：y＝﹣
x﹣．
