题目内容

如图，已知直角梯形ABCD，∠ABC=90°，AB∥CD，AB=7cm，BC=4cm，CD=10cm，DA=5cm．点P从点A开始沿直角梯形的边以1cm/s的速度匀速运动：即由点A-B-C-D-A（回到点A），设△APD的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）．
（1）求出S关于t的函数关系式，并注明t的取值范围；
（2）画出S关于t的函数图象；
（3）点P出发多长时间使△APD的面积等于直角梯形ABCD面积的一半？
（4）S是否存在最大值？若存在，何时最大，最大值是多少？
分析：（1）分四种情况进行讨论：①点P在AB边上；②点P在BC边上；③点P在CD边上；④点P在DA边上；
（2）由（1）中所求的关系式，可知前面三种情况S是t的一次函数，根据一次函数的性质，结合自变量的取值范围即可画出S关于t的函数图象；
（3）设点P出发ts时，△APD的面积等于直角梯形ABCD面积的一半．先求出直角梯形ABCD面积的一半是17，再根据（2）中画出的函数图象，列出关于t的方程，解方程即可；
（4）由（2）中画出的函数图象即可求解．
解答：解：（1）分四种情况：
①当点P在AB上，即0≤t≤7时，AP=1•t=t．
S=
1
2
t•4=2t；
②当点P在BC上，即7＜t≤11时，AB+BP=t，BP=t-7，CP=11-t．
S=S梯形ABCD-S△ABP-S△CDP
=
1
2
（7+10）×4-
1
2
×7×（t-7）-
1
2
×10×（11-t）
=
3
2
t+
7
2
；
③当点P在CD上，即11＜t≤21时，AB+BC+CP=t，DP=21-t．
S=
1
2
（21-t）×4=42-2t；
④当点P在DA上，即21＜t≤26时，A、P、D三点共线，
S=0．
综上可知，S=
2t(0≤t≤7)
3
2
t+
7
2
(7＜t≤11)
42-2t(11＜t≤21)
0(21＜t≤26)
；

（2）如下图所示：


（3）设点P出发ts时，△APD的面积等于直角梯形ABCD面积的一半．
∵S梯形ABCD=
1
2
（7+10）×4=34，
∴
1
2
S梯形ABCD=17．
由图象可知，当7＜t≤11时，有
3
2
t+
7
2
=17，解得t=9；
当11＜t≤21时，有42-2t=17，解得t=
25
2
．
故当解得t=9s或t=
25
2
s时，△APD的面积等于直角梯形ABCD面积的一半；

（4）由图象可知，当t=11s时，S存在最大值20cm2．
点评：本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积，一次函数的图象与性质，难度适中，根据动点P分别在梯形ABCD的各条边上分四种情况进行讨论是解题的关键．
练习册系列答案
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9
3
2
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