Question

如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC∥EF，∠A=90°，BC=DC=4，AC、BD交于E，且EF=ED．
（1）求证：△DBC为等边三角形．
（2）若M为AD的中点，求过M、E、C的抛物线的解析式．
（3）判定△BCD的外心是否在该抛物线上（说明理由）

Answer 1

分析：（1）根据AD∥BC∥EF，得到对应线段的比相等，确定DB=BC，可以证明△DBC是等边三角形．
（2）确定点M，E，C的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）求出△BCD的外心的坐标，通过代入到抛物线，判定是否在抛物线上．

解答：解：（1）∵EF∥BC，
∴

EF

BC

=

AF

AB

，
∵EF∥AD，
∴

AF

AB

=

DE

DB

，
∴

EF

BC

=

DE

DB

，
∵EF=DE，
∴DB=BC=4，
∴BC=DC=BD=4，
∴△DBC为等边三角形；

（2）由（1）知：∠ABD=30°，AD=2，
∴M（0，1），C（2

3

，4），
如图：过E作EH⊥AD于H，
则：DH=

1

2

DE=

1

2

EF，
∴AD-DH=EF，
即：2-

1

2

EF=EF，
∴EF=

4

3

，
HE=

3

2

DE=

2 3

3

，
∴E（

2 3

3

，

4

3

），
设过M，E，C的抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c，
把M，E，C三点的坐标代入抛物线有：

c=1 a•12+2 3 b+c=4 a• 4 3 + 2 3 b 3 +c= 4 3

，
解得：

a= 1 4 b=0 c=1

，
∴抛物线的解析式为：y=

1

4

x²+1；

（3）△DBC的外心的坐标为（

4 3

3

，2），
把它代入抛物线，

1

4

•

16

3

+1=

7

3

≠2，
∴不在抛物线上．

点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）利用平行得到对应线段的比，证明三角形是等边三角形．（2）用待定系数法确定抛物线的解析式．（3）确定外心的坐标，判定是否在抛物线上．