Question

【题目】（1）如图1，在五边形ABCDE中，AB＝AE，∠B＝∠BAE＝∠AED＝90°，∠CAD＝45°，试猜想BC，CD，DE之间的数量关系．小明经过仔细思考，得到如下解题思路：

将△ABC绕点A逆时针旋转90°至△AEF，由∠B＝∠AED＝90°，得∠DEF＝180°，即点D，E，F三点共线，易证△ACD≌　 　，故BC，CD，DE之间的数量关系是　 　；

（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC+∠D＝180°，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，∠EAF＝∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明．

（3）如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝2，CE＝3，则DE的长为　 　．

Answer 1

【答案】（1）△AFD，CD＝DE+BC；（2EF＝DF﹣BE,理由见解析；（3）．

【解析】

（1）如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转90°至△AEF，由∠B＝∠AED＝90°，得∠DEF＝180°，即点D，E，F三点共线，易证△ACD≌△AFD，可得结论；

（2）如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，证明△AFE≌△AFE'，据全等三角形的性质解答；

（3）将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，根据全等三角形的性质、勾股定理计算．

（1）BC，CD，DE之间的数量关系为：DF＝DE+BC，理由是：

如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转90°至△AEF，

由∠B＝∠AED＝∠AEF＝90°，得∠DEF＝180°，即点D，E，F三点共线，

∵∠BAE＝90°，∠CAD＝45°，

∴∠BAC+∠DAE＝∠DAE+∠EAF＝45°，

∴∠CAD＝∠FAD，

∵AD＝AD，

∴△ACD≌△FAD（SAS），

∴CD＝DF＝DE+EF＝DE+BC，

故答案为：△AFD，CD＝DE+BC；

（2）如图2，EF，BE，DF之间的数量关系是EF＝DF﹣BE．

证明：将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，

则△ABE≌△ADE'，

∴∠DAE'＝∠BAE，AE'＝AE，DE'＝BE，∠ADE'＝∠ABE，

∴∠EAE'＝∠BAD，

∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，

∠ADE'＝∠ADC，即E'，D，F三点共线，

又∠EAF＝∠BAD＝∠EAE'

∴∠EAF＝∠E'AF，

在△AEF和△AE'F中，

，

∴△AFE≌△AFE'（SAS），

∴FE＝FE'，

又∵FE'＝DF﹣DE'，

∴EF＝DF﹣BE；

（3）如图3，

将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，则CD'＝BD＝2，

由（1）同理得，△AED≌AED'，．

∴DE＝D'E．

∵∠ACB＝∠B＝∠ACD'＝45°，

∴∠ECD'＝90°，

在Rt△ECD'中，ED'＝，即DE＝，

故答案为：．