Question

【题目】如图抛物y＝﹣与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．C，D两点关于抛物线对称轴对称，连接BD交y轴于点E，抛物线对称轴交x轴于点F．

（1）点P为线段BD上方抛物线上的一点，连接PD，PE．点M是y轴上一点，过点M作MN⊥y轴交抛物线对称轴于点N．当△PDE面积最大时，求PM+MN+NF的最小值；

（2）如图2，在（1）中PM+MN+NF取得最小值时，将△PME绕点P顺时针旋转120°后得到△PM′E′，点G是MN的中点，连接M′G交抛物线的对称轴于点H，过点H作直线l∥PM，点R是直线l上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点S，使以点M′，点G，点R，点S为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）PM+MN+NF的最小值＝；（2）存在，点S的坐标为：S1（，），S2（，）．

【解析】

（1）待定系数法求直线BD解析式，再根据二次函数最大值方法求△PDE面积最大时对应的点P坐标，最后依据两点之间线段最短求PM+MN+NF的最小值；
（2）由旋转求点M′坐标，待定系数法求直线PM解析式、直线M′G以及直线l的解析式，依据矩形性质分类讨论求R坐标，再根据平移规律求相应的S坐标．

（1）在抛物线y＝﹣x2-中，令x＝0，得：y＝，令y＝0，得：

x1＝﹣3，x2＝1

∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，）,

∵y＝﹣x2＝，

∴抛物线对称轴为：直线x＝﹣1

∴D（﹣2，），

设直线BD解析式为y＝kx+b，将B（1，0），D（﹣2，）代入得 ，

解得：

∴直线BD解析式为y＝-x+

∴E（0，），

过点P作PG⊥x轴于G交BD于H，作PQ⊥BD于Q，连接CD，

设P（m，-m2- +），H（m，-m+）

PH＝-m2- +

∵PG∥y轴

∴∠PHD＝∠DEC，

∵C、D关于直线x＝﹣1对称，

∴∠DCE＝∠PQE＝90°

∴△DCE∽△HQP

∴，即：PQDE＝DCPH，

∴S△PDE＝PQDE＝DCPH＝×2（-m2- +）

＝-，

∵-＜0,

∴当m＝﹣时，S△PDE的最大值＝，此时，P（﹣，），

过点F作∠NFS＝60°，过N作∠FNS＝30°，FS与NS交于点S，如图，

∴∠FSN＝90°，

∴NS＝NFcos∠FNS＝NFcos30°＝NF，过M作MK∥NS，且MK＝NS，

当P、M、K三点共线时，PM+MK最小，

∴∠PMC＝∠KME＝∠FNS＝30°

∴PM＝2PL＝1，LM＝，MK＝NS＝NF＝（﹣）＝，MN＝1

∴PM+MN+NF的最小值＝1+1+＝.

（2）如图:

由（1）知：P（﹣，），M（0，），可求得直线PM解析式为：y＝-x+，

∵∠PML＝30°，∠PLM＝90°，∴∠LPM＝60°

∵∠MPM′＝120°，PM′＝PM＝1

∴M′、P、L三点共线，∴M′（-，），

∵点G是MN的中点，

∴G（-，），待定系数法可求得直线M′G的解析式为：y＝-，令x＝﹣1，得y＝

∴H（﹣1，），∵直线l∥PM且过点H，

∴直线l的解析式为：y＝-x，设R（t，-t），∵以点M′，点G，点R，点S为顶点的四边形是矩形

∴可以分两种情形：M′G为边或M′G为对角线

①M′G为边，∠RM′G＝90°时

∴M′R2+M′H2＝RH2，即：(t+ ＝（t+1）2+(-t-)2

解得：t＝-，

∴R（﹣， ），由平移可得S1（-，），

②M′G为边，∠M′GR＝90°时

∴GR2+HG2＝HR2，即：(t+＝（t+1）2+(-t-)2，

解得：t＝-，

∴R（-，），由平移可得S2（-，）,

③M′G为对角线，∠M′RG＝90°

∴M′R2+RG2＝M′G2，即：(t+)2+(--)2+(t+)2+(- ＝(- ，无解；

综上所述，点S的坐标为：S1（-），S2（-）．