题目内容
如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，AB=4，AD=3，动点M从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向终点A运动，同时动点N从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AB向终点B运动．当其中一点到达终点时，运动结束．过点N作NP⊥AB，交AC于点P，连接MP．过点P作PQ⊥AD交AD于点Q，且PQ=AN，AQ=PN．已知动点运动了x（0＜x≤2）秒，且PN的长为
．在这个运动过程中，当动点运动了
秒时，MP=MA，则△MPA为等腰三角形．请问是否存在其它的x值使△MPA为等腰三角形？如果存在请求出x的值；如果不存在，请说明理由．
| 3x |
| 2 |
| 36 |
| 37 |
分析：根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论：①PM=PA时，根据等腰三角形三线合一的性质可得MQ=AQ，再根据矩形的对边相等可得AQ=PN，然后根据AD的长列出方程求解即可；②AP=QM时，在Rt△PAN中，利用勾股定理列式表示出AP，再表示出AM，然后列出方程求解即可；③AM=PM时，过点M作MH⊥AP于H，根据等腰三角形三线合一的性质表示出AH，再表示出AM，然后根据∠CAD的余弦值列式求解即可．
解答：解：存在其它x值，使△MPA为等腰三角形．
由题意知：DM=x，AN=2x，
①如图1，若PM=PA，
∵PQ⊥AD，
∴MQ=AQ，
∵AQ=PN，
∴MQ=AQ=PN=
x，
又∵DM+MQ+QA=AD，
∴x+
x+
x=3，
即x=
；
②如图2，若AP=AM，
在Rt△PAN中，由勾股定理得：AP=
=
=
x，
∵AM=3-x．
∴
x=3-x，
解得x=
；
③如图3，若AM=PM时，过点M作MH⊥AP于H，
则AN=PH=
AP=
×
x=
x，
在Rt△ACD中，AC=
=5，
cos∠CAD=
=
，
即
=
，
解得x=
．
综上所述，存在其它的x值，x=
或x=
，使△MPA为等腰三角形．
由题意知：DM=x，AN=2x，
①如图1，若PM=PA，
∵PQ⊥AD，
∴MQ=AQ，
∵AQ=PN，
∴MQ=AQ=PN=
| 3 |
| 2 |
又∵DM+MQ+QA=AD，
∴x+
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
即x=
| 3 |
| 4 |
②如图2，若AP=AM，在Rt△PAN中，由勾股定理得：AP=
| AN2+PN2 |
(2x)2+(
|
| 5 |
| 2 |
∵AM=3-x．
∴
| 5 |
| 2 |
解得x=
| 6 |
| 7 |
③如图3，若AM=PM时，过点M作MH⊥AP于H，
则AN=PH=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
在Rt△ACD中，AC=
| 32+42 |
cos∠CAD=
| AH |
| AM |
| AD |
| AC |
即
| ||
| 3-x |
| 3 |
| 5 |
解得x=
| 36 |
| 37 |
综上所述，存在其它的x值，x=
| 3 |
| 4 |
| 6 |
| 7 |
点评：本题是四边形综合题型，主要考查了等腰三角形两腰相等，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理的应用，难点在于要分情况讨论求解．
练习册系列答案
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