Question

我们把“有两条边和其中一边的对角线对应相等的两个三角形”叫做“同族三角形”，如图1，在△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，则△ABC和△ABD是“同族三角形”．

（1）如图2，四边形ABCD内接于圆，点C是弧BD的中点，求证：△ABC和△ACD是同族三角形；

（2）如图3，△ABC内接于⊙O，⊙O的半径为3，AB=6，∠BAC=30°，求AC的长；

（3）如图3，在（2）的条件下，若点D在⊙O上，△ADC与△ABC是非全等的同族三角形，AD＞CD，求的值．

Answer 1

【考点】圆的综合题．

【分析】（1）由点C是弧BD的中点，根据弧与弦的关系，易得BC=CD，∠BAC=∠DAC，又由公共边AC，可证得：△ABC和△ACD是同族三角形；

（2）首先连接OA，OB，作点B作BE⊥AC于点E，易得△AOB是等腰直角三角形，继而求得答案；

（3）分别从当CD=CB时与当CD=AB时去分析求解即可求得答案．

【解答】（1）证明：∵点C是弧BD的中点，即=，

∴BC=CD，∠BAC=∠DAC，

∵AC=AC，

∴△ABC和△ACD是同族三角形；

（2）解：如图1，连接OA，OB，作点B作BE⊥AC于点E，

∵OA=OB=3，AB=6，

∴OA²+OB²=AB²，

∴△AOB是等腰直角三角形，且∠AOB=90°，

∴∠C=∠AOB=45°，

∵∠BAC=30°，

∴BE=AB=3，

∴AE==3，

∵CE=BE=3，

∴AC=AE+CE=3+3；

（3）解：∵∠B=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=180°﹣30°﹣45°=105°，

∴∠ADC=180°﹣∠B=75°，

如图2，当CD=CB时，∠DAC=∠BAC=30°，

∴∠ACD=75°，

∴AD=AC=3+3，CD=BC=BE=3，

∴==；

如图3，当CD=AB时，过点D作DF⊥AC，交AC于点F，

则∠DAC=∠ACB=45°，

∴∠ACD=180°﹣∠DAC﹣∠ADC=60°，

∴DF=CD•sin60°=6×=3，

∴AD=DF=3，

∴==．

综上所述： =或．

【点评】此题属于圆的综合题．考查了圆周角定理、弧与弦的关系、圆的内接四边形的性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．