Question

【题目】课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．

(1)加工成的正方形零件的边长是多少mm？

(2)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少？请你计算．

(3)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．

Answer 1

【答案】加工成的正方形零件的边长是；这个矩形零件的两条边长分别为，；的最大值为，此时，．

【解析】

（1）设正方形的边长为xmm，则PN＝PQ＝ED＝x，AE＝ADED＝80x，通过证明△APN∽△ABC，利用相似比可得到，然后根据比例性质求出x即可；

（2）由于矩形是由两个并排放置的正方形所组成，则可设PQ＝x，则PN＝2x，AE＝80x，然后与（1）的方法一样求解；

（3）设PN＝x，用PQ表示出AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答．

（1）如图，

设正方形的边长为，则，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

解得．

∴加工成的正方形零件的边长是；

如图，

设，则，，

∵，

∴，

∴，即，

解得：，

∴，

∴这个矩形零件的两条边长分别为，；

如图，

设，矩形的面积为，

由条件可得，

∴，

即，

解得：．

则，

故的最大值为，此时，．