Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3CD，对角线AC、BD交于点O，中位线EF与AC、BD分别交于M、N两点，则图中阴影部分的面积是梯形ABCD面积的（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  1

  3

• C、

  1

  4

• D、

  4

  7

Answer 1

分析：首先根据梯形的中位线定理，得到EF∥CD∥AB，再根据平行线等分线段定理，得到M，N分别是AC，BD的中点；然后根据三角形的中位线定理得到CD=2EM=2NF，最后根据梯形面积求法以及三角形面积公式求出，即可求得阴影部分的面积与梯形ABCD面积的面积比．

解答：解：过点D作DQ⊥AB，交EF于一点W，
∵EF是梯形的中位线，
∴EF∥CD∥AB，DW=WQ，
∴AM=CM，BN=DN．
∴EM=

1

2

CD，NF=

1

2

CD．
∴EM=NF，
∵AB=3CD，设CD=x，
∴AB=3x，EF=2x，
∴MN=EF-（EM+FN）=x，
∴S_△AME+S_△BFN=

1

2

×EM×WQ+

1

2

×FN×WQ=

1

2

（EM+FN）QW=

1

2

x•QW，
S_梯形ABFE=

1

2

（EF+AB）×WQ=

5

2

x•QW，
S_△DOC+S_△OMN=

1

2

CD×DW=

1

2

x•QW，
S_梯形FECD=

1

2

（EF+CD）×DW=

3

2

x•QW，
∴梯形ABCD面积=

5

2

x•QW+

3

2

x•QW=4x•QW，
图中阴影部分的面积=

1

2

x•QW+

1

2

x•QW=x•QW，
∴图中阴影部分的面积是梯形ABCD面积的：

x•QW

4x•QW

=

1

4

．
故选：C．

点评：此题考查了三角形中位线定理、平行线等分线段定理和梯形的中位线定理和梯形面积与三角形面积求法，解答时要将三个定理联合使用，以及得出各部分对应关系是解决问题的关键．