Question

【题目】抛物线 （为常数）与轴交于点和与轴交于点，点为抛物线顶点．

（Ⅰ）当时，求点，点的坐标；

（Ⅱ）①若顶点在直线上时，用含有的代数式表示；

②在①的前提下，当点的位置最高时，求抛物线的解析式；

（Ⅲ）若，当满足值最小时，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①；②；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）当时，y=0，由二次函数的交点式即可求出解析式；

（Ⅱ）①由题意得，代入直线y=x中即可解答；

②表达出，根据二次函数的性质可知，当b=1时，点A在最高点，即可得到二次函数解析式；

（Ⅲ）将（-1,0）代入得到c=b+1，表达出， A（0，b+1）,求出点E关于x轴的对称点，根据当满足值最小时，则此时点P，A，三点共线，求出直线AP的解析式，将点代入直线AP的解析式即可求出b的值．

解：（Ⅰ）当时，y=0，

∴，

∴

（Ⅱ）①∵点E是抛物线的顶点，

∴，

∵顶点在直线上，

∴，

∴，

②由①可知，

，，

∴当时，最大，即点A是最高点，

此时，

∴；

（Ⅲ）∵抛物线经过（-1,0）,

∴-1-b+c=0，

∴c=b+1，

∵，A（0，c）

∴， A（0，b+1）,

∴点E关于x轴对称的点，

∵当满足值最小时，则此时点P，A，三点共线，

设过点A，P的直线为y=kx+t，将点A（0，b+1），P（1，0）代入得

，解得：，

∴y=(-b-1)x+b+1，

将代入得：，

整理得：，

解得：或

∵b＞0，

∴．