Question

【题目】如图，为的直径，为上一点，经过点的切线交的延长线于点，交的延长线于点，交于，于，分别交、于、，连接，．

（1）求证：平分；

（2）若，，①求的半径；②求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①4；②

【解析】

（1）连接OC，如图，利用切线的性质得OC⊥DE，则判断OC∥AD得到∠1＝∠3，加上∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠2；

（2）①利用圆周角定理和垂径定理得到，∠M＝∠COE，设⊙O的半径为r，然后在Rt△OCE中利用余弦的定义得到，从而解方程求出r即可；

②连接BF，如图，先在Rt△AFB中利用余弦定义计算出AF＝，再计算出CE＝3，接着证明△AFN∽△AEC，然后利用相似比可计算出FN的长．

（1）证明：连接，如图，

∵直线与相切于点，

∴，

又∵，

∴．

∴

∵，

∴，

∴，

∴平方；

（2）①∵为直径，

∴，

而，

∴，

∴，

∴，

∴，

而，

∴，

设的半径为，

在中，，即，解得，

即的半径为4；

②连接，如图，

在中，，

∴

在中，，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，即，

∴．