Question

已知关于x的一元二次方程ax²＋x－a＝0(a≠0)，

(1)求证：对于任意非零实数a，该方程根有两个异号的实数根；

(2)设x₁、x₂是该方程的两个根，若|x₁|＋|x₂|＝4，求a的值．

Answer 1

答案：
解析：

解答：(1)证明：Δ＝1＋4a2，∵a为任何实数，a2≥0，∴Δ＞0，∴方程恒有两实数根． 设方程的两根为x1，x2，∵a≠0，∴x1·x2＝＝－1＜0．∴方程恒有两个异号的实数根． (2)由(1)得x1·x2＜0， ∴|x1|＋|x2|＝|x1－x2|＝4． ∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝16． 又∵x1＋x2＝－，∴＋4＝16 ∴a＝±．

提示：

(1)名师导引：(1)欲证明一元二次方程恒有两个异号的实数根，说明根的判别式大于零，且两根之积小于零；(2)利用根与系数的关系解题，必须把x1、x2的绝对值符号去掉，否则就需要讨论，利用(1)的结论x1，x2异号，就可得|x1|＋|x2|＝|x1－x2|．