Question

已知：矩形ABCD中，M为BC边上一点， AB=BM=10，MC=14，如图1，正方形EFGH的顶点E和点B重合，点F、G、H分别在边AB、AM、BC上.如图2，P为对角线AC上一动点，正方形EFGH从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿BC向点C匀速移动；同时，点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿CA向点A匀速移动.当点F到达线段AC上时，正方形EFGH和点P同时停止运动.设运动时间为t秒，解答下列问题：
（1）在整个运动过程中，当点F落在线段AM上和点G落在线段AC上时，分别求出对应t的值；
（2）在整个运动过程中，设正方形与重叠部分面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围；
（3）在整个运动过程中，是否存在点P,使是以DG为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

(1)5，7；（2）答案见解析；（3）.

解析试题分析：（1）根据三角形的中位线易求t的值；
（2）分5种位置关系分别讨论；
（3）可以建立以点B为原点的直角坐标系，表示出这个三角形三个顶点的距离，再用两点间的距离公式表示出各边的长度，然后分两种情况讨论组成关于t的两个方程求解即可。
试题解析：(1)∵为正方形
∴ 
∴ 
∴的中点  
∴秒
又∵当落在上时,所走路程为的中位线的长.
又∵  
∴        
∴秒
(2)当时， 
当时， 
时， 
时，

(3)∵



①当时,为等腰三角形
∴  ∴秒
∵   ∴存在点,使为等腰三角形
②当时，为等腰三角形
∴
∴    ∴（舍去）， （舍去）
综上，存在点,当秒时，是以DG为腰的等腰三角形.
考点：1.三角形的中位线；2.二次函数；3.等腰三角形的性质.