Question

【题目】如图，在与中，，，，，，射线与直线交于点P．

（1）求证：；

（2）若，求的值；

（3）若绕点B逆时针旋转一周，直接写出线段的最大值与最小值．

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）；（3），3-.

【解析】

（1）由，∠ABE =∠CBD，结合，即可得证；

（2）过点E作EM⊥AB，则EM=BN=2，BM=EN=5-1=4，易证：∴PED，CND，AME都是等腰直角三角形，根据正切三角函数的定义，即可求解；

（3）由，易证：点P，C，B，A在以AC为直径的圆弧上，结合图形，可得线段的最大值与最小值．

（1）∵，

∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=∠EBD-∠EBC=∠CBD，

∵，，，，

∴，

∴；

（2）∵，，，，，

∴DE=5，

∵，

∴BN⊥DE，

∴BN=，

∴CN=BC-BN=3-2=1，，

∴CN=DN，

∴∠PDE=45°，

过点E作EM⊥AB，则EM=BN=2，BM=EN=5-1=4，如图1，

∴AM=6-4=2，

∴AM=EM，

∴∠EAB=45°，

∴∠PED=∠EAB=45°，

∴PED，CND，AME都是等腰直角三角形，

∴PE=PD=5÷=，AE=2，CD=，

∴PA=PE+AE=，PC= PD- CD=，

∴=；

（3）∵，如图1，

∴∠EAB=∠DCB，

∵∠DCB+∠PCB=180°，

∴∠EAB +∠PCB=180°，

∴点P，C，B，A在以AC为直径的圆弧上，

∴AP≤AC=，

∴AP的最大值为：.

当且都是等腰直角三角形时，AP的值最小，如图2，

此时，都是等腰直角三角形，

设AP=x，则AM=，MB=6-，

∵

∴，解得：x=3-，

即：AP的最小值为：3-./span>

图1 图2