Question

21、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，将△ABC绕点C旋转，使点A落在⊙O上的点D处，得到△DEC，连接BD．
（1）试说明点B、D、E在同一直线上；
（2）当AB=AC时，求证：CE是⊙O的切线．

Answer 1

分析：（1）要证明B、D、E在同一直线上，则能证明出∠CDE+∠CDB=180°即可，
（2）过点C作直径CM，连接DM，由角的等量关系证明出CE⊥CM．

解答：（1）解：∵△DEC是由△ABC旋转得到，
∴△DEC≌△ABC．
∴∠CDE=∠A．（1分）
∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠CDB=180°．（2分）
∴∠CDE+∠CDB=180°．
∴点B、D、E在同一直线上．（3分）

（2）证明：过点C作直径CM，连接DM，则∠CDM=90°．（4分）
∴∠1+∠M=90°．
∵△DEC≌△ABC，
∴CD=CA，DE=AB，CE=CB．
∴∠2=∠E．（5分）
∵AB=AC，
∴CD=DE，
∴∠3=∠E．
∴∠2=∠3．（6分）
∵∠2=∠M，
∴∠M=∠3．（7分）
∴∠1+∠3=90°．
∴CE⊥CM．（8分）
∴CE是⊙O的切线．（9分）

点评：本题考查了切线的判定，全等三角形判定等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．