题目内容

如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC= $数学公式$ ，点D是BC中点，点E从点D出发沿DB经每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，点F从点D出发以每秒1个单位长的速度向点C匀速运动．在点E、F的运动过程中，以EF为边作正方形EFPQ，使它与等腰△ABC的线段BC的同侧，点E、F同进出发，当PQ经过点A时，点E再以每秒1个单位长的速度向点C匀速运动．回到点D时停止运动，点F也随之停止．设点E、F运动的时间是t秒（t＞0）
（1）设EF的长为y，在点E从点D向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）
（2）t为何值时，PQ经过点A？
（3）当BE=5 $数学公式$ 时，求△ABC与正方形EFPQ重叠部分的面积？
（4）随着时间t的变化，△ABC与正方形EFPQ重叠部分的周长在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由．

解：（1）y与t之间的函数关系式：y=2t；

（2）连接AD，设经过ts，
可得AD⊥BC，
BD= $\text{[math]}$ BC=6 $\text{[math]}$ ，
AD=BD•tan∠B=6，
又知正方形EFPQ，PQ经过点A，
即AD=EF，2t=6，
解得t=3s，

（3）EF=BC-2BE=12 $\text{[math]}$ -2× $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
△ABC与正方形EFPQ重叠部分的面积为：2 $\text{[math]}$ ×2 $\text{[math]}$ =12；

（4）当t=3，既PQ经过点A时，△ABC与正方形EFPQ重叠部分的周长达到最大值w，设此时QE交AB于M，PF交AC与N，由（1）知AD=EF=6，

∴AQ=ED=3，
∴在Rt△AQM中，QM= $\text{[math]}$ ，AM=2 $\text{[math]}$ ，又ME=6- $\text{[math]}$ ，
∴w=2（AM+ME+ED）=2 $\text{[math]}$ +18
∵该最大值能持续到点E回到点D，
∴3≤t≤6时，△ABC与正方形EFPQ重叠部分的周长达到最大值2 $\text{[math]}$ +18．
分析：（1）根据EF=DE+DF，由路程=速度×时间即可求出y与t之间的函数关系式；
（2）根据等腰三角形的性质，三角函数的知识求解即可；
（3）当BE=5 $\text{[math]}$ 时，正方形EFPQ在△ABC内部，求出EF的长，根据正方形面积公式即可求出；
（4）当Q、P分别在AB、AC上时，△ABC与正方形EFPQ重叠部分的周长会达到最大值．
点评：本题考查了等腰三角形的性质，三角函数，正方形的性质和相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大．