题目内容
已知抛物线C1：y1=a1x2+b1x+c1，C2：y2=a2x2+b2x+c2，且满足
=
=
=k（k≠0，1），则称抛物线C1，C2互为“友好抛物线”．关于“友好抛物线”有以下说法：①C1，C2开口方向、开口大小相同；②C1，C2的对称轴相同；③如果y2的最值为m，则y1的最值为km；④如果C2与x轴的两交点间距离为d，则C1与x轴的两交点间距离也为d．其中正确的结论是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）．
| a1 |
| a2 |
| b1 |
| b2 |
| c1 |
| c2 |
考点：二次函数的性质
专题：新定义
分析：当k＜0时，可判断①；由
=
可得到
=
，可判断②；根据二次函数的最值，可分别求得y2和y1的最值，再结合条件可判断③；根据根与系数的关系求出与X轴的两交点的距离|g-e|和|d-m|，即可判断④．
| a1 |
| a2 |
| b1 |
| b2 |
| a1 |
| b1 |
| a2 |
| b2 |
解答：解：由已知可知：a1=ka2，b1=kb2，c1=kc2，
①根据友好抛物线的条件，a1、a2的符号不一定相同，所以开口方向、开口大小不一定相同，故①不正确；
②由
=
可得到
=
，所以可知其对称轴相同，故②正确；
③因为如果y2的最值是m，则y1的最值是
=k•
=km，故③正确；
④因为设直线y1于x轴的交点坐标是（e，f），（g，h），则e+g=-
，eg=
，
直线y2于x轴的交点坐标是（m，n），（d，p），则m+d=-
，md=
，
可求得：d=|g-e|=
=
=
=
=|d-m|，故④正确；
故答案为：②③④．
①根据友好抛物线的条件，a1、a2的符号不一定相同，所以开口方向、开口大小不一定相同，故①不正确；
②由
| a1 |
| a2 |
| b1 |
| b2 |
| a1 |
| b1 |
| a2 |
| b2 |
③因为如果y2的最值是m，则y1的最值是
4a1c1-
| ||
| 4a1 |
4a2b2-
| ||
| 4a2 |
④因为设直线y1于x轴的交点坐标是（e，f），（g，h），则e+g=-
| b1 |
| a1 |
| c1 |
| a1 |
直线y2于x轴的交点坐标是（m，n），（d，p），则m+d=-
| b2 |
| a2 |
| c2 |
| a2 |
可求得：d=|g-e|=
| (e+g)2-4eg |
| ||||
| a1 |
| ||||
| ka2 |
| ||||
| a2 |
故答案为：②③④．
点评：本题主要考查二次函数的对称轴、开口方向、最值等，由条件得出a1=ka2，b1=kb2，c1=kc2是解题的关键．
练习册系列答案
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B、y=-
| ||
C、y=
| ||
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