Question

（2012•湖里区一模）已知：直线y=

1

2

x+c与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=ax²+bx+4c与直线AB交于A、D两点，与y轴交于点C．
（1）若c=-1，点C为抛物线的顶点，求点D的坐标；
（2）若c＞0，点O到直线AB的距离为

2 5

5

，∠CDB=∠ACB，求抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）根据c的值确定出直线解析式，然后求出点A的坐标，再根据C为顶点可得b=0，然后把点A的坐标代入抛物线解析式求出a的值，再根据直线与抛物线解析式联立求解即可得到点D的坐标；
（2）根据直线解析式求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长度，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式求出c=1，从而求出OA、OB、AB的长度，再根据勾股定理求出AB，根据∠CDB=∠ACB，∠CAB为公共角判定△ABC和△ACD相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出AD的长度，过点D作DE⊥x轴于E，利用相似三角形对应边成比例求出AE、DE的长，再求出OE的长，然后得到点D的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答．

解答：解：（1）∵c=-1，
∴直线y=

1

2

x-1，
当y=0时，

1

2

x-1=0，
解得x=2，
∴点A（2，0），
∵抛物线y=ax²+bx+4c与y轴交于点C，c=-1，
∴点C（0，-4），
又∵点C为抛物线的顶点，
∴-

b

2a

=0，
解得b=0，
把点A（2，0）代入抛物线解析式得，4a-4=0，
解得a=1，
所以，抛物线解析式为y=x²-4，
联立

y= 1 2 x-1 y=x2-4

，
解得

x1=2 y1=0

（为点A坐标），

x2=- 3 2 y2=- 7 4

，
所以，点D（-

3

2

，-

7

4

）；

（2）令y=0，则

1

2

x+c=0，解得x=-2c，
令x=0，则y=c，
所以，点A（-2c，0），B（0，c），
∵c＞0，
∴OA=2c，OB=c，
根据勾股定理，AB=

OA2+OB2

=

(2c)2+c2

=

5

c，
S_△ABC=

1

2

×

5

c×

2 5

5

=

1

2

×2c•c，
解得c=1，
∴OA=2，OB=1，AB=

5

，
又∵x=0时，y=4c=4×1=4，
∴点C坐标为（0，4），
∴OC=4，
∴AC=

OA2+OC2

=

22+42

=2

5

，
∵∠CDB=∠ACB，∠CAB为公共角，
∴△ABC∽△ACD，
∴

AC

AD

=

AB

AC

，
即

2 5

AD

=

5

2 5

，
解得AD=4

5

，
过点D作DE⊥x轴于E，则△ABO∽△ADE，
∴

AO

AE

=

AB

AD

=

OB

DE

，
即

2

AE

=

5

4 5

=

1

DE

，
解得AE=8，DE=4，
∴OE=AE-OA=8-2=6，
∴点D（6，4），
∵抛物线y=ax²+bx+4过点A（-2，0）、D（6，4），
∴

4a-2b+4=0 36a+6b+4=4

，
解得

a=- 1 4 b= 3 2

，
所以，抛物线解析式为y=-

1

4

x²+

3

2

x+4．

点评：本题是二次函数综合题型，主要涉及求直线与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式（包括二次函数解析式与一次函数解析式），联立两函数解析式求交点坐标，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度中等．